1. Достраиваем исходный прямоугольный треугольник до прямоугольника. 2. Проводим вторую диагональ получившегося прямоугольника. 3. Получилось четыре одинаковых прямоугольных треугольника. 4. Разбиваем прямоугольник на четыре равных прямоугольника проводя параллельные прямые через точку пересечения диагоналей. 5. Получившиеся прямоугольники имеют наибольшую площадь так как в сумме дают полную площадь прямоугольника. 6. Площадь прямоугольника 8*5=40 см². 7. Площадь вписанного прямоугольника 40/4=10 см².
0 1 −2
a) f (x, y) = x1 y1 +5x2 y2 +6x3 y3 +2x1 y3 +2x3 y1 +3x2 y3 +3x3 y2 , 2 0 −1 .
3 −2 0
f (x, y) = 2x1 y1 + 3x2 y2 + x3 y3 + 2x1 y2 + 2x2 y1 + x1 y3 + x3 y1 + x2 y3 + x3 y2 ,
b)
2 1 1
−1 −3 1 .
1 2 −1
9.5. Даны два вектора a и b в унитарном(евклидовом) пространстве. Най-
ти сопряженный оператор к линейному оператору φ(x) = (x, a)b.
9.6. Найти сопряженный оператор к линейному оператору φ(x) = [x, a] в
пространстве геометрических векторов.
9.7. Пусть xOy декартова система координат на плоскости и φ проекти-
рование на ось 0x параллельно биссектрисе первой и третьей четверти.
Найти сопряженный оператор φ∗ .
9.8. Путь V пространство вещественных многочленов со скалярным про-
1
изведением (f, g) = i! ai bi , f (x) = ai xi и g(x) = bi xi . Доказать, что
сопряженный оператор к оператору дифференцирования в V совпадает с
оператором умножения на x. Найти сопряженный оператор к дифферен-
циальному оператору ψ(f ) = x3 f .
9.9. Пусть V пространство финитных функций на R ( финитная функция
– бесконечно дифференцируемая функция, равная нулю вне некоторого
+∞
отрезка) со скалярным произведением (f, g) = −∞ f (x)g(x)dx. Найти со-
пряженный оператор к оператору дифференцирования D(f ) = f . Найти
сопряженный оператор к дифференциальному оператору ψ(f ) = x3 f .
9.10. Пусть V евклидово пространство вещественных n Ч n-матриц со
скалярным произведением (X, Y ) = TrXY t (см. задачу 7.11). Найти со-
пряженный оператор к оператору умножения φ(X) = AX на некоторую
матрицу A.
11
§10. Самосопряженные операторы
10.1. Найти диагональную форму и ортонормированный базис из соб-
ственных векторов для самосопряженного оператора, заданного в орто-
нормированном базисе матрицей:
1 2 −2 −1 2 −3
−2 3
a) , b) 2 1 −7 , c) 2 2 −6
3 6
−2 −7 1 −3 −6 7
√ √
√0 2 − 2 4 −1 2 −2 1 4
d) √ − 1 − 7 , e) −1 4 −2 , f ) 1 −2 4 ,
2 2 2
− 2 −2 −1
7
2
2 −2 7 4 4 13
0 0 0 1 0 1 1 1
0 0 1 0
, h) 1 0 1 1
g)
0 1 0 0 1 1 0 1
1 0 0 0 1 1 1 0
3 2 + 2i 3 −i 3 2−i
k) , m) , n) .
2 − 2i 1 i 3 2+i 7
10.2. a) Доказать, что оператор φ(f ) = (x2 − 1)f + 2xf является само-
сопряженным оператором в евклидовом пространстве вещественных мно-
+1
гочленов относительно скалярного произведения (f, g) = −1 f (x)g(x)dx.
dk
b) Доказать, что многочлены Лежандра Qk (x) = dxk (x2 − 1)k составляют
ортогональный базис из собственных векторов оператора φ. Найти соб-
ственные значения для Qk (x).
§11. Ортогональные и унитарные операторы
11.1. Найти ортонормированный базис из собственный векторов для уни-
тарных операторов, заданных матрицами:
cos α − sin α 1 1+i 1
a) (α = kπ), b) √ .
sin α cos α 3 −1 1 − i
11.2. Найти каноническую матрицу и канонический канонический базис
ортогонального оператора, заданного в некотором ортонормированном ба-
2. Проводим вторую диагональ получившегося прямоугольника.
3. Получилось четыре одинаковых прямоугольных треугольника.
4. Разбиваем прямоугольник на четыре равных прямоугольника проводя параллельные прямые через точку пересечения диагоналей.
5. Получившиеся прямоугольники имеют наибольшую площадь так как в сумме дают полную площадь прямоугольника.
6. Площадь прямоугольника 8*5=40 см².
7. Площадь вписанного прямоугольника 40/4=10 см².