Решение текстовых задач с составления дробно-рациональных уравнений. Урок 2 Лодка проплыла 7 км по течению реки и 9 км против течения, затратив на весь путь 1 ч. Найди собственную скорость лодки, если скорость течения реки – 2 км/ч. Пусть x км/ч – собственная скорость лодки. Для решения задачи составлено уравнение:
Добрый день! Давайте разберем эту задачу пошагово.
В условии задачи нам дано, что лодка проплыла 7 км по течению реки и 9 км против течения, затратив на весь путь 1 час. Известно также, что скорость течения реки составляет 2 км/ч. Нам нужно найти скорость самой лодки.
Пусть x км/ч - это собственная скорость лодки.
Для решения задачи мы можем использовать формулу времени, расстояния и скорости:
Время = Расстояние / Скорость.
Теперь составим уравнение, используя эту формулу.
Время, затраченное на проплывание 7 км по течению, можно выразить как расстояние деля на скорость:
7 / (x + 2)
Время, затраченное на проплывание 9 км против течения, можно выразить как расстояние деля на скорость:
9 / (x - 2)
Согласно условию задачи, общее время пути составляет 1 час, поэтому мы можем записать уравнение:
7 / (x + 2) + 9 / (x - 2) = 1
Теперь у нас есть дробно-рациональное уравнение, которое нужно решить. Для начала, умножим все члены уравнения на (x + 2)(x - 2), чтобы избавиться от знаменателей.
7(x - 2) + 9(x + 2) = (x + 2)(x - 2)
Раскроем скобки:
7x - 14 + 9x + 18 = x^2 - 4
Соберем все члены уравнения в одну сторону и упростим:
x^2 - 16x + 4 = 0
Теперь у нас есть квадратное уравнение. Мы можем либо решить его с помощью факторизации, либо воспользоваться квадратным корнем.
Постараемся решить это уравнение через квадратный корень. Приведем его к каноническому виду (a * x^2 + b * x + c = 0).
x^2 - 16x + 4 = 0
Сначала найдем дискриминант по формуле D = b^2 - 4ac, где a = 1, b = -16 и c = 4.
D = (-16)^2 - 4 * 1 * 4 = 256 - 16 = 240
Дискриминант D равен 240.
Теперь найдем корни уравнения, используя формулу x = (-b ± √D) / (2a).
x = (16 ± √240) / 2 = (16 ± 4√15) / 2 = 8 ± 2√15
Таким образом, у нас есть два возможных значения для скорости лодки: 8 + 2√15 и 8 - 2√15.
В школьных задачах обычно рассматривают только положительные значения, поэтому можно сделать вывод, что собственная скорость лодки составляет 8 + 2√15 км/ч.
Надеюсь, ответ был понятен. Если у вас возникли еще вопросы, не стесняйтесь задавать. Я готов помочь!
В условии задачи нам дано, что лодка проплыла 7 км по течению реки и 9 км против течения, затратив на весь путь 1 час. Известно также, что скорость течения реки составляет 2 км/ч. Нам нужно найти скорость самой лодки.
Пусть x км/ч - это собственная скорость лодки.
Для решения задачи мы можем использовать формулу времени, расстояния и скорости:
Время = Расстояние / Скорость.
Теперь составим уравнение, используя эту формулу.
Время, затраченное на проплывание 7 км по течению, можно выразить как расстояние деля на скорость:
7 / (x + 2)
Время, затраченное на проплывание 9 км против течения, можно выразить как расстояние деля на скорость:
9 / (x - 2)
Согласно условию задачи, общее время пути составляет 1 час, поэтому мы можем записать уравнение:
7 / (x + 2) + 9 / (x - 2) = 1
Теперь у нас есть дробно-рациональное уравнение, которое нужно решить. Для начала, умножим все члены уравнения на (x + 2)(x - 2), чтобы избавиться от знаменателей.
7(x - 2) + 9(x + 2) = (x + 2)(x - 2)
Раскроем скобки:
7x - 14 + 9x + 18 = x^2 - 4
Соберем все члены уравнения в одну сторону и упростим:
x^2 - 16x + 4 = 0
Теперь у нас есть квадратное уравнение. Мы можем либо решить его с помощью факторизации, либо воспользоваться квадратным корнем.
Постараемся решить это уравнение через квадратный корень. Приведем его к каноническому виду (a * x^2 + b * x + c = 0).
x^2 - 16x + 4 = 0
Сначала найдем дискриминант по формуле D = b^2 - 4ac, где a = 1, b = -16 и c = 4.
D = (-16)^2 - 4 * 1 * 4 = 256 - 16 = 240
Дискриминант D равен 240.
Теперь найдем корни уравнения, используя формулу x = (-b ± √D) / (2a).
x = (16 ± √240) / 2 = (16 ± 4√15) / 2 = 8 ± 2√15
Таким образом, у нас есть два возможных значения для скорости лодки: 8 + 2√15 и 8 - 2√15.
В школьных задачах обычно рассматривают только положительные значения, поэтому можно сделать вывод, что собственная скорость лодки составляет 8 + 2√15 км/ч.
Надеюсь, ответ был понятен. Если у вас возникли еще вопросы, не стесняйтесь задавать. Я готов помочь!