a = –1a = 0a = 1sinx = –1sin x = 0sin x =x = – + 2 k , k x = k , k x = + 2 k , k | a| >1 корней нет
2. cos x = a , |a| 1
x = ± arccos a + 2 k , k
Частные случаи:
a = –1a = 0a = 1cos x = –1cos x = 0cos x = 1x = + 2 k , k x = + k , k x = 2 k , k |a| >1 корней нет
3. tg x = a , a x = ± arctg a + k , k
Основные типы тригонометрических уравнений.
Уравнения, сводящиеся к простейшим.Уравнения, сводящиеся к квадратным.Однородные уравнения: asinx + bcosx = 0, a sin 2 x + b sinxcosx + c cos 2 x = 0.Уравнения вида a sinx + b cosx = с , с ≠ 0.Уравнения, решаемые разложением на множители.Нестандартные уравнения.
1.
ОДЗ: арксинус определен при![x\in[-1;\ 1]](/tpl/images/1421/5878/61ea0.png)
Найдем синус левой и правой части:
Уравнение распадается на два. Для первого уравнения получим:
Решаем второе уравнение:
Таким образом, уравнение имеет единственный корень 0.
ответ: 0
2.
ОДЗ: арксинус определен при![x\in[-1;\ 1]](/tpl/images/1421/5878/61ea0.png)
Найдем синус левой и правой части:
Так как в правой части стоит положительная величина, то и левая часть должна быть положительной, то есть
.
Возведем в квадрат обе части:
Решим биквадратное уравнение:
Находим х:
Однако, так как было выявлено ограничение
, то отрицательный корень не попадает в ответ.
Оценив значение полученного корня, мы понимаем, что он удовлетворяет исходной ОДЗ:
ответ:
Простейшие тригонометрические уравнения.
1. sinx = a, |a| 1
x = (–1 ) k arcsin a + k , k
Частные случаи:
a = –1a = 0a = 1sinx = –1sin x = 0sin x =x = – + 2 k , k x = k , k x = + 2 k , k | a| >1 корней нет2. cos x = a , |a| 1
x = ± arccos a + 2 k , k
Частные случаи:
a = –1a = 0a = 1cos x = –1cos x = 0cos x = 1x = + 2 k , k x = + k , k x = 2 k , k |a| >1 корней нет3. tg x = a , a x = ± arctg a + k , k
Основные типы тригонометрических уравнений.
Уравнения, сводящиеся к простейшим.Уравнения, сводящиеся к квадратным.Однородные уравнения: asinx + bcosx = 0, a sin 2 x + b sinxcosx + c cos 2 x = 0.Уравнения вида a sinx + b cosx = с , с ≠ 0.Уравнения, решаемые разложением на множители.Нестандартные уравнения.