решить : Cos2x < - 1/2
Ctg (pi/4-x) >= 1
Cosx >1/3
Cosx >= 1
Sinx cosx <0
|tgx| < 2​

Напомним, что неравенства называются равносильными, если у них совпадают множества решений.

Решим первое неравенство. ОДЗ: x≥2. Если x=2, неравенство превращается в 0>0, поэтому x=2 не входит в ответ. Если x>2, корень из x-2 больше 0, поэтому он не влияет на знак левой части и может быть отброшен. Получается неравенство x-a>0; x>a. Остается пересечь условия x>2 и x>a. Если a<2, решениями первого неравенства служат все x>2, что не совпадает с множеством решений второго неравенства. Если же a≥2, решениями первого неравенства служат все x>a, что совпадает с множеством решений второго неравенства.

Вывод: неравенства равносильны при a≥2

В решении.

Объяснение:

Решить неравенство:

1) х² - 7х - 30 > 0;

Приравнять к нулю и решить квадратное уравнение:

х² - 7х - 30 = 0

D=b²-4ac = 49 + 120 = 169         √D=13

х₁=(-b-√D)/2a  

х₁=(7-13)/2

х₁= -6/2

х₁= -3;              

х₂=(-b+√D)/2a

х₂=(7+13)/2

х₂=20/2

х₂= 10;

Уравнение квадратичной функции, график - парабола, ветви направлены вверх, пересекают ось Ох в точках х= -3 и х=10.

Функция > 0, как в неравенстве, при х от -∞ до х= -3 и от х=10 до +∞ (график выше оси Ох).

Решения неравенства: х∈(-∞; -3)∪(10; +∞).

Неравенство строгое, скобки круглые.

2) (2х + 1)(х - 4) <= 0  

2х² - 8х + х - 4 <= 0

2х² - 7х - 4 <= 0

Приравнять к нулю и решить квадратное уравнение:

2х² - 7х - 4 = 0

D=b²-4ac = 49 + 32 = 81        √D=9

х₁=(-b-√D)/2a

х₁=(7-9)/4

х₁= -2/4

х₁= -0,5;                

х₂=(-b+√D)/2a

х₂=(7+9)/4

х₂=16/4

х₂=4;

Уравнение квадратичной функции, график - парабола, ветви направлены вверх, пересекают ось Ох в точках х= -0,5 и х=4.

Функция <= 0, как в неравенстве, при х от х = -0,5 до х= 4 (график ниже оси Ох).

Решения неравенства: х∈[-0,5; 4].

Неравенство нестрогое, скобки квадратные.