Решить хоть что то . тема: системы уравнений. много .

1) 5^n + 3

n=1, 5^1+3=8 делится на 4;

пусть при n=k 5^n + 3=5^k + 3 делится на 4;

n=k+1 5^n + 3=5^(k+1) + 3=5^k *5 + 3 + 15 - 15=5(5^k + 3) + 3 - 15=5(5^k + 3) - 12

5(5^k + 3) делится на 4, -12 делится на 4 => 5(5^k + 3) - 12 делится на 4.

5^n + 3 делится на 4 при любом натуральном n.

2) 5^n + 6^n-1

n=1, 5^1 + 6^1 - 1=10 делится на 10;

пусть при n=k 5^n + 6^n - 1= 5^k + 6^k - 1 делится на 10;

n=k+1 5^n + 6^n - 1= 5^(k+1)+ 6^(k+1) - 1=5* 5^k + 6* 6^k - 1 = 5^k + 6^k - 1 + 4* 5^k + 5* 6^k=5^k + 6^k - 1 + 20* 5^(k-1) + 30* 6^(k-1)=5^k + 6^k - 1 + 4* 5^k + 5* 6^k = 5^k + 6^k - 1 + 10(2* 5^(k-1) + 3* 6^(k-1))

5^k + 6^k - 1 делится на 10, 10(2* 5^(k-1) + 3* 6^(k-1)) делится на 10 => 5^k + 6^k - 1 + 10(2* 5^(k-1) + 3* 6^(k-1)) делится на 10.

5^n + 6^n-1 делится на 10 при любом натуральном n.

пусть х км/ч - собственная скорость лодки

(х + 3) км/ч - скорость лодки по течению

(х - 3) км/ч - скорость лодки против течения

36/(х + 3) ч -время движения по течению

36/(х - 3) ч - время движения против течения

По условию: на весь путь затрачено 5ч.

36/(х + 3) + 36/(х - 3) = 5

36*(х - 3) + 36*(х + 3) = 5*(х - 3)*(х + 3)

36х - 108 + 36х + 108 = 5*((x^2) - 9)

72x  = 5*(x^2) - 45

5*(x^2) - 72x - 45 = 0

Решив квадратное уравнение, получим корни

х1 = -3/5 - не удовлетворяет условию задачи

х2 = 15

ответ: собственная скорость лодки 15км/ч.