Пусть d - знаменатель арифметической прогрессии и q - знаменатель геометрической прогрессии. С одной стороны, a4=a1+3*d. С другой стороны, по условию a4=a1*q. Аналогично a5=a1+4*d и a5=a4*q=a1*q². Получили систему уравнений:
a1+3*d=a1*q a1+4*d=a1*q²
Разделив эти уравнения на a1, получим систему:
1+3*d/a1=q 1+4*d/a1=q²
Отсюда 1+4*d/a1=(1+3*d/a1)². Обозначая d/a1=x, приходим к квадратному уравнению:
1+4*x=(1+3*x)²=1+6*x+9*x², или 9*x²+2*x=x*(9*x+2)=0, откуда x=d/a1=0 либо x=d/a1=-2/9. Но при x=0 d=0, тогда q=1. В этом случае и арифметическая, и геометрическая прогрессии состоят из одних и тех же чисел. Если d/a1=-2/9, то из первого уравнения системы следует q=1/3. а из второго - q²=1/9. ответ: q=1 либо q=1/3.
2x²-2xy-y²=11 2x(x-y)-y²=11 2x*5-y²=11 2x*(-5)-y²=11
x-y=5 x=5+y: x-y=-5 x=y-5
10(5+y)-y²=11 -10(y-5)-y²=11
50+10y-y²=11 -10y+50-y²=11
-y²+10y+50-11=0 -y²-10y+50-11=0
-y²+10y+39=0 -y²-10y+39=0
D=10²-4*(-1)*39=100+156=256 D=(-10)²-4*(-1)*39=100+156=256
y₁=(-10-16)/-2=13 x₁=5+13=18 y₁=(10-16)/-2=3 x₁=3-5=-2
y₂=(-10+16)/-2=-3 x₂=5+(-3)=2 y₂=(10+16)/-2=-13 x₂=-13-5=-18
a1+3*d=a1*q
a1+4*d=a1*q²
Разделив эти уравнения на a1, получим систему:
1+3*d/a1=q
1+4*d/a1=q²
Отсюда 1+4*d/a1=(1+3*d/a1)². Обозначая d/a1=x, приходим к квадратному уравнению:
1+4*x=(1+3*x)²=1+6*x+9*x², или 9*x²+2*x=x*(9*x+2)=0, откуда x=d/a1=0 либо x=d/a1=-2/9. Но при x=0 d=0, тогда q=1. В этом случае и арифметическая, и геометрическая прогрессии состоят из одних и тех же чисел. Если d/a1=-2/9, то из первого уравнения системы следует q=1/3. а из второго - q²=1/9.
ответ: q=1 либо q=1/3.