А) угол А=С=60⇒угол В=180-60-60=60 ⇒треугольник равносторонний б)АВ=ВС=АС; М , Н и К - середины этих сторон, из этого следует, Поскольку M, H, K - середины сторон AB, BC и AC, а все стороны равны, то АМ = МВ = ВН = НС = СК = СА. треугольники МВН и НКС: угол В = углу С = 60гр; МВ = ВН = НС = СК⇒ ΔМВН = ΔНКС они равны по двум сторонам и углу между ними.
в) Поскольку М и Н - середины сторон АВ и ВС, то МН - средняя линия треугольника АВС. По св-ву средней линии треугольника МН ║ АС. МН ║ АС и АВ- секущая, ⇒ углы ВМН и ВАС будут = уг ВМН = уг ВАС = 60 гр
г) МН - средняя линия. МН ║ АС. Опустим с точки В перпендикуляр ВК. Пусть в нём ОН - средняя линия (точка О - точка пересечения МН и ВК) . Рассмотрим треугольник ВКС. По теореме Фалеса: поскольку ВН = НС, то ВО = ОК
д) Поскольку точка равноудалена от вершин треугольника, то основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость треугольника, совпадает с центром описанной окружности треугольника, а центр описанной окружности находится в точке пересечения срединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
1) Б. С(3; 0; 0)
2. AO = √(x² + y² + z²) = √(9 + 1 + 25) = √35
3. a(-8; 4; -1), b(2; 3; -6)
1) |a| = √(64 + 16 + 1) = √81 = 9 (A)
2) |b| = √(4 + 9 + 36) = √49 = 7 (Б)
3) |a - b| = |(-10; 1; 5)| = √(100 + 1 + 25) = √126 = 3√14 (Д)
4) a·b = -8·2 + 4·3 + (-1)·(-6) = -16 + 12 + 6 = 2 (В)
4. x₁ = 2x₀ - x₂ = 8 + 2 = 10;
y₁ = 2y₀ - y₂ = -12 - 1 = -13;
z₁ = 2z₀ - z₂ = 22 - 7 = 15
A(10; -13; 15)
5. a·b = 0;
5·7 + n·4 - 3·9 = 0;
35 + 4n - 27 = 0;
4n = -8;
n = -2.
6. A(5; 8; 0), B(-7; 10; 2), C(3; 2; -3)
x₀ = (x₁ + x₂)/2 = (5 - 7)/2 = -2/2 = -1
y₀ = (y₁ + y₂)/2 = (8 + 10)/2 = 18/2 = 9
z₀ = (z₁ + z₂)/2 = (0 + 2)/2 = 2/2 = 1
E(-1; 9; 1)
CE = √(4² + 7² + 4²) = √(16 + 49 + 16) = √81 = 9
7. k = DB₁
DB₁ = √(a² + b² + c²) = √(BC² + BA² + BB₁²) = √(36 + 9 + 25) = √70
б)АВ=ВС=АС;
М , Н и К - середины этих сторон, из этого следует, Поскольку M, H, K - середины сторон AB, BC и AC, а все стороны равны, то АМ = МВ = ВН = НС = СК = СА.
треугольники МВН и НКС: угол В = углу С = 60гр; МВ = ВН = НС = СК⇒
ΔМВН = ΔНКС они равны по двум сторонам и углу между ними.
в) Поскольку М и Н - середины сторон АВ и ВС, то МН - средняя линия треугольника АВС. По св-ву средней линии треугольника МН ║ АС.
МН ║ АС и АВ- секущая, ⇒ углы ВМН и ВАС будут =
уг ВМН = уг ВАС = 60 гр
г) МН - средняя линия.
МН ║ АС. Опустим с точки В перпендикуляр ВК.
Пусть в нём ОН - средняя линия (точка О - точка пересечения МН и ВК) . Рассмотрим треугольник ВКС. По теореме Фалеса: поскольку ВН = НС, то ВО = ОК
д) Поскольку точка равноудалена от вершин треугольника, то основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость треугольника, совпадает с центром описанной окружности треугольника, а центр описанной окружности находится в точке пересечения срединных перпендикуляров к сторонам треугольника.