Решить систему уравнений:
x+ky=3
0,2x-y=2

Y(x)=x²+4, х₀=1, k=4
угловой коэффициент касательной к функции равен значению производной функции в точке касания, т.е. k=y'(x₀)
1) найдем производную:
y'(x)=(x²+4)'=2x
k=y'(x₀)=y'(1)=2*1=2 - угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой x₀=1
2) теперь известен угловой коэффициент k=4, но неизвестна точка касания x₀, т.е.
 y'(x₀)=k
2*x₀=4
x₀=2
чтобы найти ординату точки, подставим x₀ в функцию y(x):
y₀=y(x₀)=2²+4=4+4=8
(2;4) - координаты точки, в которой угловой коэффициент касания равен k=4
3) уравнение касательной в общем виде: f(x)=y(x₀)+y'(x₀)*(x-x₀)
x₀=1, y'(x₀)=2 - найдено выше под 1)
y(x₀)=1²+4=5
подставляем найденные значения в общий вид:
f(x)=5+2(x-1)=5+2x-2=2x+3 - уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой x₀=1

Какой набор точек представляет собой уравнение:

а) 9x² + 9y² - 12x - 6y - 76 = 0

б) x² + y² - 18x + 40y + 481 = 0  ;

в) x² + y² + 2x - 6y + 15 = 0           || x² + y + 2x - 6y + 15 = 0  

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

Решение

а)

9x² + 9y² - 12x - 6y - 76 = 0   ⇔ (9x²- 12x +4) + ( 9y² - 6y+  1 ) - 4 - 1 - 76 = 0  ⇔   (3x -2)²+(3y -1)² =81 ⇔ 9(x -2/3)² +9(y -1/3 )² =81 ⇔(x -2/3)² +(y -1/3 )² =3²

Точки на окружности с центром O ( 2/3 ; 1/3 )  и радиусом  R = 3 .

б)

x² + y² - 18x + 40y + 481 = 0  ⇔(x² - 18x + 81) + (y²  + 40y + 400) =0⇔

(x - 9)² + ( y  + 20)² = 0  возможно,  если только  x - 9 =0  и y =  - 20

* * *   (x - 9)² ≥ 0 и  ( y  + 20)² ≥  0 * * *

ответ :  единственная точка :   E( 9 ; - 20) .

в)

x² + y² + 2x - 6y + 15 = 0 ⇔ ( x² + 2x + 1 )  + ( y² - 6y + 9 ) +5 = 0 ⇔

(x + 1 )²  + ( y - 3 )²+ 5 = 0  невозможно  т.к.  (x + 1 )² ≥0  и ( y - 3 )² ≥ 0

(x + 1 )²  + ( y - 3 )²+ 5 ≥ 5

(x + 1 )²  + ( y - 3 )²+ 5

ответ:   ∅