Решить

Первая.

Сначала определяем область определения. 4x^2-x-3>=0

Корни квадратного уравнения -3/4 и 1. Методом интервалов находим что ОДЗ (функция имеет смысл) от –оО до -3/4 и от 1 до +оО.

Далее ищем экстремумы, т.е. точки, в которых производная равна 0.

y’ = (0.5 / sqrt(4x^2-x-3)) * (8*x-1) = 0

А дальше легко.

Данная функция монотонно убывает от +оО до 0 в точке х = -3/4. Далее функция неопределена. А затем при х=1, когда у=0, функция монотонно возрастает до +оО.

Вторая.

Аналогично:

ОДЗ: х>0

Ищем производную, приравниваем к 0:

y’ = ln^2(x) +x*(2*ln(x)*1/x) = ln^2(x)+2*ln(x) = ln(x)*(ln(x)+2) = 0

Первый корень ln(x) = 0 => x=1

Второй корень ln(x) = -2 =>x = e^(-2)

Итак, от 0 (не включительно) функция монотонно возрастает от –оО, где в точке х= e^(-2) достигает значения у = 4*e^(-2) – это локальный максимум, затем монотонно убывает до значения у=0 в точке х=1 – это локальный минимум, затем монотонно возрастает до бесконечности.

Примем длину дороги ( кольца) за S метров
Пусть скорость одного автомобиля V₁, другого V₂

Тогда при движении в одном направлении скорость отдаления
=V₁-V₂,

а  
S=1 ч(V₁-V₂) 
Cкорость сближения при движении в противоположных направлениях 
V₁+V₁, и
S=0,5(V₁+V₂)   

Cоставим систему

|1 ч(V₁-V₂)=S
|0,5(V₁+V₂) =S  умножим это уравнение на 2

|V₁-V₂=S
|V₁+V₂=2S  сложим уравнения
получим
2V₁=3S

v₁=1,5 S
Подставим это значение в
V₁-V₂=S
1,5 S - V₂=S
V₂=2,5 S

Найдем время, за которое проедет всю кольцевую трассу каждый автомобиль

t=S:v
t₁=S:v₁=S:1,5 S=1:1,5=10/15=2/3 часа или 40 мин
t₂=S:v₂=S:2,5=1:2,5=10/25=2/5 часа или 24 мин