Осталось доказать, что при любом целом k число k (k - 1)(2k - 1) делится на 6. 1) Числа k, k - 1 - разной чётности, поэтому одно из них делится на 2, а значит, и всё произведение делится на 2. 2) Докажем делимость на 3. Пусть ни k, ни k - 1 не делятся на 3 (иначе утверждение заведомо верно). Тогда k представимо в виде k = 3m + 2, m - целое. Подставим такое k в выражение 2k - 1. 2k - 1 = 2(3m + 2) - 1 = 6m + 3 = 3(2m + 1) То, что стоит в скобках, - целое число, поэтому 2k - 1 делится на 3.
Для завершения доказательства отметим, что если число делится на 2 и на 3, то оно делится и на 6.
n/12 + n^2/8 + n^3/24 = k/6 + k^2/2 + k^3/3 = k/6 * (1 + 3k + 2k^2) = k/6 * (k - 1)(2k - 1) = k (k - 1)(2k - 1) / 6
Осталось доказать, что при любом целом k число k (k - 1)(2k - 1) делится на 6.
1) Числа k, k - 1 - разной чётности, поэтому одно из них делится на 2, а значит, и всё произведение делится на 2.
2) Докажем делимость на 3. Пусть ни k, ни k - 1 не делятся на 3 (иначе утверждение заведомо верно). Тогда k представимо в виде k = 3m + 2, m - целое. Подставим такое k в выражение 2k - 1.
2k - 1 = 2(3m + 2) - 1 = 6m + 3 = 3(2m + 1)
То, что стоит в скобках, - целое число, поэтому 2k - 1 делится на 3.
Для завершения доказательства отметим, что если число делится на 2 и на 3, то оно делится и на 6.
y=sin⁴x+cos⁴x
находим производную и приравниваем ее к нулю
y'=4sin³x cosx-4sinx cos³x
y'=4sinx cosx(sin²x-cos²x)
y'=-2sin2x(cos²x-sin²x)
y'=-2sin2x*2cos2x=-2sin4x
-2sin4x=0
sin4x=0
4x=πk
x=πk/4
Определяем знаки интервалов
- + - + - +
₀₀₀₀₀₀₀>
0 π/4 2π/4 3π/4 4π/4
При переходе от минуса к плюсу имеем минимум, от плюса к минусу - максимум функции.
ответ:
точки минимума π(k+1)/4; точки максимума πn/4; k,n∈Z