Решить вычислите сумму 1⋅3/1+ 3⋅5/1 +…+ 123⋅125/1. если ответом в является нецелое число, то напишите его десятичную запись, разделив целую и дробную часть точкой (например,1.2).
Для решения этой задачи мы должны вычислить сумму ряда, в котором каждый элемент представляет собой результат умножения двух чисел, разделенных знаком "/".
Ряд состоит из следующих элементов: 1⋅3/1, 3⋅5/1, и так далее до 123⋅125/1.
Для начала посмотрим на структуру ряда. Мы видим, что в числителя каждого элемента стоит произведение двух последовательных чисел, а в знаменателе всегда стоит 1. Таким образом, каждый элемент можно записать в виде (a⋅(a+2))/1, где a - первое число каждого элемента ряда.
Теперь мы можем решить задачу шаг за шагом, применяя формулу для суммы арифметической прогрессии:
S = (n/2)⋅(a1+an),
где S - сумма прогрессии, n - количество элементов прогрессии, a1 - первый элемент прогрессии, an - последний элемент прогрессии.
Для определения n и an нам понадобится найти рекуррентные формулы для a и an.
Рекуррентная формула для a:
a = 1 + (n-1)⋅2,
где n - номер элемента.
Рекуррентная формула для an:
an = a1 + (n-1)⋅d,
где d - разность между элементами прогрессии.
Подставим данные в формулы:
a1 = 1,
d = 2,
an = 123 + (n-1)⋅2.
Теперь можем найти n:
an = 123 + (n-1)⋅2,
an = 123 + 2n - 2,
2n = 125,
n = 125/2,
n = 62.5.
Так как число элементов прогрессии должно быть целым числом, мы округляем n вниз до 62.
Используя рекуррентную формулу для a, найдем первый элемент:
ответ: 325438
Ряд состоит из следующих элементов: 1⋅3/1, 3⋅5/1, и так далее до 123⋅125/1.
Для начала посмотрим на структуру ряда. Мы видим, что в числителя каждого элемента стоит произведение двух последовательных чисел, а в знаменателе всегда стоит 1. Таким образом, каждый элемент можно записать в виде (a⋅(a+2))/1, где a - первое число каждого элемента ряда.
Теперь мы можем решить задачу шаг за шагом, применяя формулу для суммы арифметической прогрессии:
S = (n/2)⋅(a1+an),
где S - сумма прогрессии, n - количество элементов прогрессии, a1 - первый элемент прогрессии, an - последний элемент прогрессии.
Для определения n и an нам понадобится найти рекуррентные формулы для a и an.
Рекуррентная формула для a:
a = 1 + (n-1)⋅2,
где n - номер элемента.
Рекуррентная формула для an:
an = a1 + (n-1)⋅d,
где d - разность между элементами прогрессии.
Подставим данные в формулы:
a1 = 1,
d = 2,
an = 123 + (n-1)⋅2.
Теперь можем найти n:
an = 123 + (n-1)⋅2,
an = 123 + 2n - 2,
2n = 125,
n = 125/2,
n = 62.5.
Так как число элементов прогрессии должно быть целым числом, мы округляем n вниз до 62.
Используя рекуррентную формулу для a, найдем первый элемент:
a1 = 1 + (n-1)⋅2,
a1 = 1 + (62-1)⋅2,
a1 = 1 + 61⋅2,
a1 = 1 + 122,
a1 = 123.
Теперь мы готовы найти сумму ряда:
S = (n/2)⋅(a1+an),
S = (62/2)⋅(123+(123+122)),
S = 31⋅(123+245),
S = 31⋅368,
S = 11408.
Ответ: сумма ряда равна 11408.