Решение: 1) Область определения D(y) : x≠2 2) Множество значений функции Е (х) : 3) Проверим является ли функция периодической: y(x)=x^4/(4-2x) y(-x)=(-x)^4/(4-2(-x))=x^4/(4+x), так как у (х) ≠y(-x); y(-x)≠-y(x), то функция не является ни четной ни нечетной. 4) Найдем нули функции: у=0; x^4/(4-2x)=0; x^4=0; x=0 График пересекает оси координат в точке (0;0) 5) Найдем промежутки возрастания и убывания функции, а так же точки экстремума: y'(x)=(4x³(4-2x)+2x^4)/(4-2x)²=(16x³-6x^4)/(4-2x)²; y'=0 (16x³-6x^4)/(4-2x)²=0 16x³-6x^4=0 x³(16-6x)=0 x1=0 x2=8/3 Так как на промежутках (-∞;0) (8/3;∞) y'(x)< 0, то на этих промежутках функция убывает Так как на промежутках (0;2) и (2;8/3) y(x)> 0, то на этих промежутках функция возрастает. В точке х=0 функция имеет минимум у (0)=0 В точке х=8/3 функция имеет максимум у (8/3)=-1024/27≈-37.9 6) Найдем точки перегиба и промежутки выпуклости: y'=((16-24x³)(4-2x)²+4(4-2x)(16x-6x^4))/(4-2x)^4=(24x^4-96x³+32x+64)/(4-2x)³; y"=0 (24x^4-96x³+32x+64)/(4-2x)³=0 уравнение не имеет корней. Следовательно: так как на промежутке (-∞;2) y"> 0, тона этом промежутке график функции направлен выпуклостью вниз. Так как на промежутке (2;☆) y"< 0, то на этом промежутке график функции напрвлен выпуклостью вверх. 7) Найдем асимптоты : а) Вертикальные, для этого найдем доносторонние пределы в точке разрыва: lim (при х->2-0) (x^4/(4-2x)=+∞ lim (при х->2+0) (x^4/(4-2x)=-∞ Так как односторонние пределы бесконечны, то в этой точке функция имеет разрыв второго рода и прямая х=2 является вертикальной асимптотой. б) наклонные y=kx+b k=lim (при х->∞)(y(x)/x)= lim (при х->∞)(x^4/(x(4-2x))=∞ наклонных асимптот функция не имеет. 8) все, строй график
1) Область определения D(y) : x≠2
2) Множество значений функции Е (х) :
3) Проверим является ли функция периодической:
y(x)=x^4/(4-2x)
y(-x)=(-x)^4/(4-2(-x))=x^4/(4+x), так как у (х) ≠y(-x); y(-x)≠-y(x), то функция не является ни четной ни нечетной.
4) Найдем нули функции:
у=0; x^4/(4-2x)=0; x^4=0; x=0
График пересекает оси координат в точке (0;0)
5) Найдем промежутки возрастания и убывания функции, а так же точки экстремума:
y'(x)=(4x³(4-2x)+2x^4)/(4-2x)²=(16x³-6x^4)/(4-2x)²; y'=0
(16x³-6x^4)/(4-2x)²=0
16x³-6x^4=0
x³(16-6x)=0
x1=0
x2=8/3
Так как на промежутках (-∞;0) (8/3;∞) y'(x)< 0, то на этих промежутках функция убывает
Так как на промежутках (0;2) и (2;8/3) y(x)> 0, то на этих промежутках функция возрастает.
В точке х=0 функция имеет минимум у (0)=0
В точке х=8/3 функция имеет максимум у (8/3)=-1024/27≈-37.9
6) Найдем точки перегиба и промежутки выпуклости:
y'=((16-24x³)(4-2x)²+4(4-2x)(16x-6x^4))/(4-2x)^4=(24x^4-96x³+32x+64)/(4-2x)³; y"=0
(24x^4-96x³+32x+64)/(4-2x)³=0 уравнение не имеет корней.
Следовательно:
так как на промежутке (-∞;2) y"> 0, тона этом промежутке график функции направлен выпуклостью вниз.
Так как на промежутке (2;☆) y"< 0, то на этом промежутке график функции напрвлен выпуклостью вверх.
7) Найдем асимптоты :
а) Вертикальные, для этого найдем доносторонние пределы в точке разрыва:
lim (при х->2-0) (x^4/(4-2x)=+∞
lim (при х->2+0) (x^4/(4-2x)=-∞
Так как односторонние пределы бесконечны, то в этой точке функция имеет разрыв второго рода и прямая х=2 является вертикальной асимптотой.
б) наклонные y=kx+b
k=lim (при х->∞)(y(x)/x)= lim (при х->∞)(x^4/(x(4-2x))=∞ наклонных асимптот функция не имеет.
8) все, строй график
Значения на концах отрезка:
y(-3) = (9 + 8)/(-3-1) = -17/4 = -4,25
y(0) = (0 + 8)/(0 - 1) = -8/1 = -8
Точка разрыва x = 1 не входит в промежуток [-3; 0] и нас не интересует.
Экстремум
y'= \frac{2x(x-1) - (x^2+8)*1}{(x-1)^2} = \frac{2x^2-2x-x^2-8}{(x-1)^2} =\frac{x^2-2x-8}{(x-1)^2} = 0y
′
=
(x−1)
2
2x(x−1)−(x
2
+8)∗1
=
(x−1)
2
2x
2
−2x−x
2
−8
=
(x−1)
2
x
2
−2x−8
=0
x^2 - 2x - 8 = (x - 4)(x + 2) = 0
x1 = -2; y(-2)= (4 + 8)/(-2 - 1) = 12/(-3) = -4
x2 = 4 - не входит в промежуток [-3; 0]
ответ: y(-2) = -4 - наибольшее, y(0) = -8 - наименьшее.