Если исходное число равно A, то число, большее на 1, равно A + 1, а новое шестизначное число равно 1000A + (A + 1) = 1001A + 1. 1001A + 1 должно быть полным квадратом.
100 <= A <= 998, поэтому 100101 <= n^2 <= 998999, 317 <= n <= 999.
1001 = 7 * 11 * 13. Поскольку n < 1000, n - 1 или n + 1 не могут делиться на все три числа одновременно, перебираем варианты.
1) n - 1 делится на 7, n + 1 делится на 11 * 13 = 143. n + 1 = 143k, k < 7 n - 1 = 143k - 2 = 140k + (3k - 2) делится на 7, т.е. 3k - 2 делится на 7. Перебором находим k = 3, n = 143 * 3 - 1 = 428. n^2 = 183184, A = 183
2) n - 1 делится на 11, n + 1 делится на 7 * 13 = 91. n + 1 = 91k, k < 11 n - 1 = 91k - 2 = 88k + (3k - 2) делится на 11, т.е. 3k - 2 делится на 11. Перебором находим k = 8, n = 91 * 8 - 1 > 428
3) n - 1 делится на 13, n + 1 делится на 7 * 11 = 77. n + 1 = 77k, k < 13 n - 1 = 77k - 2 = 78k - (k + 2), k + 2 делится на 13, откуда k = 11. n = 77 * 11 - 1 > 428
4) n + 1 делится на 7, n - 1 делится на 143 n - 1 = 143k, k < 7 n + 1 = 143k + 2 = 140k + (3k + 2), 3k + 2 делится на 7, k = 7 - 3 = 4. n = 143 * 4 + 1 > 428
5) n + 1 делится на 11, n - 1 делится на 91. n - 1 = 91k, k < 11 n + 1 = 88k + (3k + 2), 3k + 2 делится на 11, k = 11 - 8 = 3 n = 91 * 3 + 1 = 274 < 317, не подходит
6) n + 1 делится на 13, n - 1 делится на 77. n - 1 = 77k, k < 13 n + 1 = 78k - (k - 2), k - 2 делится на 13, k = 13 - 11 = 2 n = 77 * 2 + 1 = 155 < 317, не подходит.
Так как 2 и 3, 2 и 5, 3 и 5 взаимно просты, то (искомые числа - числа от 1 до 2017 которые делятся нацело на два из заявленных числе и не делятся нацело на третье) числа подчеркнутые ровно 2 раза будут числами 2*3*k, где k нацело не делится на 5, 2*5*l, где l не делится нацело на 3 и 3*5*m, где m - нацело не делится на 2 k, l m, натуральные числа
Рассмотрим первый ряд чисел 6k это числа кратные 6 (6*1, ..., 6*336) 2017=6*336+1 без учета чисел 30k* - чисел кратных 30 (30*1, .., 30*67) 2017=30*67+7 т.е. всего таких чисел будет 336-67=269
Рассмотрим второй ряд чисел 10l єто числа кратные 10 (10*1, ..., 10*201) 2017=10*201+7 без учета чисел 30l* - чисел кратных 30 (30*1, .., 30*67) 2017=30*67+7 т.е. всего таких чисел будет 201-67=134
Рассмотрим третий ряд чисел 15m єто числа кратные 15 (15*1, ..., 15*134) 2017=15*134+7 без учета чисел 30m* - чисел кратных 30 (30*1, .., 30*67) 2017=30*67+7 т.е. всего таких чисел будет 134-67=67
окончательно искомых чисел будет 269+134+67=470 ответ: 470 чисел
1001A + 1 = n^2
1001A = n^2 - 1
1001A = (n - 1)(n + 1)
100 <= A <= 998, поэтому 100101 <= n^2 <= 998999, 317 <= n <= 999.
1001 = 7 * 11 * 13. Поскольку n < 1000, n - 1 или n + 1 не могут делиться на все три числа одновременно, перебираем варианты.
1) n - 1 делится на 7, n + 1 делится на 11 * 13 = 143.
n + 1 = 143k, k < 7
n - 1 = 143k - 2 = 140k + (3k - 2) делится на 7, т.е. 3k - 2 делится на 7.
Перебором находим k = 3, n = 143 * 3 - 1 = 428.
n^2 = 183184, A = 183
2) n - 1 делится на 11, n + 1 делится на 7 * 13 = 91.
n + 1 = 91k, k < 11
n - 1 = 91k - 2 = 88k + (3k - 2) делится на 11, т.е. 3k - 2 делится на 11.
Перебором находим k = 8, n = 91 * 8 - 1 > 428
3) n - 1 делится на 13, n + 1 делится на 7 * 11 = 77.
n + 1 = 77k, k < 13
n - 1 = 77k - 2 = 78k - (k + 2), k + 2 делится на 13, откуда k = 11.
n = 77 * 11 - 1 > 428
4) n + 1 делится на 7, n - 1 делится на 143
n - 1 = 143k, k < 7
n + 1 = 143k + 2 = 140k + (3k + 2), 3k + 2 делится на 7, k = 7 - 3 = 4.
n = 143 * 4 + 1 > 428
5) n + 1 делится на 11, n - 1 делится на 91.
n - 1 = 91k, k < 11
n + 1 = 88k + (3k + 2), 3k + 2 делится на 11, k = 11 - 8 = 3
n = 91 * 3 + 1 = 274 < 317, не подходит
6) n + 1 делится на 13, n - 1 делится на 77.
n - 1 = 77k, k < 13
n + 1 = 78k - (k - 2), k - 2 делится на 13, k = 13 - 11 = 2
n = 77 * 2 + 1 = 155 < 317, не подходит.
ответ. 183
(искомые числа - числа от 1 до 2017 которые делятся нацело на два из заявленных числе и не делятся нацело на третье)
числа подчеркнутые ровно 2 раза будут числами 2*3*k, где k нацело не делится на 5, 2*5*l, где l не делится нацело на 3 и 3*5*m, где m - нацело не делится на 2
k, l m, натуральные числа
Рассмотрим первый ряд чисел 6k это числа кратные 6 (6*1, ..., 6*336)
2017=6*336+1
без учета чисел 30k* - чисел кратных 30 (30*1, .., 30*67)
2017=30*67+7
т.е. всего таких чисел будет 336-67=269
Рассмотрим второй ряд чисел 10l єто числа кратные 10 (10*1, ..., 10*201)
2017=10*201+7
без учета чисел 30l* - чисел кратных 30 (30*1, .., 30*67)
2017=30*67+7
т.е. всего таких чисел будет 201-67=134
Рассмотрим третий ряд чисел 15m єто числа кратные 15 (15*1, ..., 15*134)
2017=15*134+7
без учета чисел 30m* - чисел кратных 30 (30*1, .., 30*67)
2017=30*67+7
т.е. всего таких чисел будет 134-67=67
окончательно искомых чисел будет 269+134+67=470
ответ: 470 чисел