Определение 1. Функцию y = f(x), xN называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают: y = f(n) или y1, y2, y3, ..., yn, ... или (yn).
В данном случае независимая переменная – натуральное число.
задания числовой последовательности.
Словесный .
Правила задания последовательности описываются словами, без указания формул или когда закономерности между элементами последовательности нет.
Пример 2. Произвольный набор чисел: 1, 4, 12, 25, 26, 33, 39, ... .
Пример 3. Последовательность чётных чисел 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ... .
Аналитический .
Любой n-й элемент последовательности можно определить с формулы.
Пример 1. Последовательность чётных чисел: y = 2n.
Пример 2. Последовательность квадрата натуральных чисел: y = n2;
1, 4, 9, 16, 25, ..., n2, ... .
Пример 3. Стационарная последовательность: y = C;
C, C, C, ..., C, ... .
Частный случай: y = 5; 5, 5, 5, ..., 5, ... .
Пример 4. Последовательность y = 2n;
2, 22, 23, 24, ..., 2n, ... .
Рекуррентный .
Указывается правило, позволяющее вычислить n-й элемент последовательности, если известны её предыдущие элементы.
Пример 1. Арифметическая прогрессия: a1=a, an+1=an+d, где a и d – заданные числа, d - разность арифметической прогрессии. Пусть a1=5, d=0,7, тогда арифметическая прогрессия будет иметь вид: 5; 5,7; 6,4; 7,1; 7,8; 8,5; ... .
Пример 2. Геометрическая прогрессия: b1= b, bn+1= bn q, где b и q – заданные числа, b 0, q0; q – знаменатель геометрической прогрессии. Пусть b1=23, q=½, тогда геометрическая прогрессия будет иметь вид: 23; 11,5; 5,75; 2,875; ... .
Пример 3. Последовательность Фибоначчи. Эта последовательность легко задаётся рекуррентно: y1=1, y2=1, yn-2+yn-1, если n=3, 4, 5, 6, ... . Она будет иметь вид:
1, 1,2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... .
Аналитически последовательность Фибоначчи задать трудно, но возможно. Формула, по которой определяется любой элемент этой последовательности, выглядит так:
3.2. Закрепление нового материала. Решение задач.
Для закрепления знаний выбираются примеры в зависимости от уровня подготовки учащихся.
Пример 1. Составить возможную формулу n-го элемента последовательности (yn):
а) 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...;
б) 4, 8, 12, 16, 20, ...;
Решение.
а) Это последовательность нечётных чисел. Аналитически эту последовательность можно задать формулой y = 2n+1.
б) Это числовая последовательность, у которой последующий элемент больше предыдущего на 4. Аналитически эту последовательность можно задать формулой y = 4n.
Пример 2. Выписать первые десять элементов последовательности, заданной рекуррентно: y1=1, y2=2, yn = yn-2+yn-1, если n = 3, 4, 5, 6, ... .
Решение.
Каждый последующий элемент этой последовательности равен сумме двух предыдущих элементов.
y1=1;
y2=2;
y3=1+2=3;
y4=2+3=5;
y5=3+5=8;
y6=5+8=13;
y7=8+13=21;
y8=13+21=34;
y9=21+34=55;
y10=34+55=89.
Пример 3. Последовательность (yn) задана рекуррентно: y1=1, y2=2, yn= 5 yn-1- 6yn-2. Задать эту последовательность аналитически.
Решение.
Найдём несколько первых элементов последовательности.
y1=1;
y2=2;
y3=5y2-6y1=10-6=4;
y4=5y3-6y2=20-12=8;
y5=5y4-6y3=40-24=16;
y6=5y5-6y4=80-48=32;
y7=5y6-6y5=160-96=64.
Получаем последовательность: 1; 2; 4; 8; 16; 32; 64; ..., которую можно представить в виде
20; 21; 22 ; 23 ; 24 ; 25 ; 26 ... .
n = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7... .
Анализируя последовательность, получаем следующую закономерность: y = 2n-1.
Пример 4. Дана последовательность yn=24n+36-5n2.
а) Сколько в ней положительных членов?
б) Найти наибольший элемент последовательности.
в) Есть в данной последовательности наименьший элемент?
Решение.
Данная числовая последовательность – это функция вида y = -5x2 +24x+36, где x
а) Найдём значения функции, при которых -5x2 +24x+36>0. Решим уравнение -5x2 +24x+36=0.
D = b2-4ac=1296, X1=6, X2=-1,2.
Уравнение оси симметрии параболы y = -5x2 +24x+36 можно найти по формуле x=, получим: x=2,4.
- + -
-1,2 6
Неравенство -5x2 +24x+36>0 выполняется при -1,2 В этом интервале находится пять натуральных чисел (1, 2, 3, 4, 5). Значит в заданной последовательности пять положительных элементов последовательности.
б) Наибольший элемент последовательности определяется методом подбора и он равен y2=64.
20 км/ч и 30 км/ч
Объяснение:
Пусть время, за которое первый катер проходит 60 км равно t ч, тогда время, за которое второй катер проходит 60 км равно t-1 ч.
Значит, скорость первого катера равна 60/t км/ч, а время второго катера равно 60/(t-1) км/ч.
По условию задачи, катера двигались навстречу друг другу и за 1 час вместе 50 км. Составим уравнение:
(60/t + 60/(t-1))*1=50 |*t(t-1)
60(t-1)+60t=50t(t-1)
60t-60+60t=50t²-50t
50t²-170t+60=0 |:10
5t²-17t+6=0
D=(-17)²-4*5*6=289-120=169=13²
t₁=(17+13)/(2*5) = 30/10=3
t₂=(17-13)/(2*5)=4/10=0,4
Если t=3 ч, то t-1=3-1=2 ч
Если t=0,4 ч, то t-1=0,4-1=-0,6 <0 (невозможно, т.к. время не может быть отрицательным)
Следовательно, скорость первого катера равна 60/3=20 км/ч, а скорость второго катера равна 60/2=30 км/ч
Определение 1. Функцию y = f(x), xN называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают: y = f(n) или y1, y2, y3, ..., yn, ... или (yn).
В данном случае независимая переменная – натуральное число.
задания числовой последовательности.
Словесный .
Правила задания последовательности описываются словами, без указания формул или когда закономерности между элементами последовательности нет.
Пример 1. Последовательность простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, .
Пример 2. Произвольный набор чисел: 1, 4, 12, 25, 26, 33, 39, ... .
Пример 3. Последовательность чётных чисел 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ... .
Аналитический .
Любой n-й элемент последовательности можно определить с формулы.
Пример 1. Последовательность чётных чисел: y = 2n.
Пример 2. Последовательность квадрата натуральных чисел: y = n2;
1, 4, 9, 16, 25, ..., n2, ... .
Пример 3. Стационарная последовательность: y = C;
C, C, C, ..., C, ... .
Частный случай: y = 5; 5, 5, 5, ..., 5, ... .
Пример 4. Последовательность y = 2n;
2, 22, 23, 24, ..., 2n, ... .
Рекуррентный .
Указывается правило, позволяющее вычислить n-й элемент последовательности, если известны её предыдущие элементы.
Пример 1. Арифметическая прогрессия: a1=a, an+1=an+d, где a и d – заданные числа, d - разность арифметической прогрессии. Пусть a1=5, d=0,7, тогда арифметическая прогрессия будет иметь вид: 5; 5,7; 6,4; 7,1; 7,8; 8,5; ... .
Пример 2. Геометрическая прогрессия: b1= b, bn+1= bn q, где b и q – заданные числа, b 0, q0; q – знаменатель геометрической прогрессии. Пусть b1=23, q=½, тогда геометрическая прогрессия будет иметь вид: 23; 11,5; 5,75; 2,875; ... .
Пример 3. Последовательность Фибоначчи. Эта последовательность легко задаётся рекуррентно: y1=1, y2=1, yn-2+yn-1, если n=3, 4, 5, 6, ... . Она будет иметь вид:
1, 1,2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... .
Аналитически последовательность Фибоначчи задать трудно, но возможно. Формула, по которой определяется любой элемент этой последовательности, выглядит так:
3.2. Закрепление нового материала. Решение задач.
Для закрепления знаний выбираются примеры в зависимости от уровня подготовки учащихся.
Пример 1. Составить возможную формулу n-го элемента последовательности (yn):
а) 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...;
б) 4, 8, 12, 16, 20, ...;
Решение.
а) Это последовательность нечётных чисел. Аналитически эту последовательность можно задать формулой y = 2n+1.
б) Это числовая последовательность, у которой последующий элемент больше предыдущего на 4. Аналитически эту последовательность можно задать формулой y = 4n.
Пример 2. Выписать первые десять элементов последовательности, заданной рекуррентно: y1=1, y2=2, yn = yn-2+yn-1, если n = 3, 4, 5, 6, ... .
Решение.
Каждый последующий элемент этой последовательности равен сумме двух предыдущих элементов.
y1=1;
y2=2;
y3=1+2=3;
y4=2+3=5;
y5=3+5=8;
y6=5+8=13;
y7=8+13=21;
y8=13+21=34;
y9=21+34=55;
y10=34+55=89.
Пример 3. Последовательность (yn) задана рекуррентно: y1=1, y2=2, yn= 5 yn-1- 6yn-2. Задать эту последовательность аналитически.
Решение.
Найдём несколько первых элементов последовательности.
y1=1;
y2=2;
y3=5y2-6y1=10-6=4;
y4=5y3-6y2=20-12=8;
y5=5y4-6y3=40-24=16;
y6=5y5-6y4=80-48=32;
y7=5y6-6y5=160-96=64.
Получаем последовательность: 1; 2; 4; 8; 16; 32; 64; ..., которую можно представить в виде
20; 21; 22 ; 23 ; 24 ; 25 ; 26 ... .
n = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7... .
Анализируя последовательность, получаем следующую закономерность: y = 2n-1.
Пример 4. Дана последовательность yn=24n+36-5n2.
а) Сколько в ней положительных членов?
б) Найти наибольший элемент последовательности.
в) Есть в данной последовательности наименьший элемент?
Решение.
Данная числовая последовательность – это функция вида y = -5x2 +24x+36, где x
а) Найдём значения функции, при которых -5x2 +24x+36>0. Решим уравнение -5x2 +24x+36=0.
D = b2-4ac=1296, X1=6, X2=-1,2.
Уравнение оси симметрии параболы y = -5x2 +24x+36 можно найти по формуле x=, получим: x=2,4.
- + -
-1,2 6
Неравенство -5x2 +24x+36>0 выполняется при -1,2 В этом интервале находится пять натуральных чисел (1, 2, 3, 4, 5). Значит в заданной последовательности пять положительных элементов последовательности.
б) Наибольший элемент последовательности определяется методом подбора и он равен y2=64.
в) Наименьшего элемента нет.
Объяснение: