Предположим , что степень полинома P(x) не равна степени полинома: x*Q(x).
Тогда степень полинома:
P(x) + x*Q(x) равна либо степени полинома P(x) либо x*Q(x) , в зависимости от того степень какого полинома больше. Но тогда по условию полином большей степени должен иметь 2 степень. Соответственно полином меньшей степени имеет 1 или 0 степень. Но тогда полином : x*P(x)*Q(x) имеет 2 или 3 степень, что невозможно , тк по условию : P(x)*x*Q(x) должен иметь 9+1=10 степень. То мы пришли к противоречию .
Значит степени полиномов P(x) и x*Q(x) должны быть равны.
Тогда тк степень x*P(x)*Q(x) равна 10. То степень полинома P(x) равна:10/2=5
2) Полином :
P(x) +Q(x) имеет степень 3, а полином
P(x)-Q(x) имеет степень 5.
Тогда сумма и разность этих полиномов имеет 5 степень:
То есть 2*P(x) имеет 5 степень и 2*Q(x) имеет 5 степень.
cамый легкий здесь - использование формул сокращенного умножения. так (х²+1)²=х⁴+2х²+1, поэтому, если представить, что
х²=2х²-х², то легко выйти на формулу разности квадратов, итак,
х⁴+х²+1 =(х⁴+2х²+1) -х²=(х²+1)²-х²=(х²+1-х)(х²+1+х), конечно, можно продолжать раскладывать каждый квадратный трехчлен на множители, но уже не на действительные, т.к. у каждой скобки дискриминант меньше нуля, и действительных корней не получим. итак, если необходимо продолжить, то
х²+1-х=0; х=(1±√(1-4))/2=(1±√3i)/2, и тогда (х²+1-х)=(х-(1+√3i)/2)((х-(1-√3i)/2);
аналогично х²+1+х=0; х=(-1±√(1-4))/2=(1±√3i)/2, и тогда (х²+1+х)=
Предположим , что степень полинома P(x) не равна степени полинома: x*Q(x).
Тогда степень полинома:
P(x) + x*Q(x) равна либо степени полинома P(x) либо x*Q(x) , в зависимости от того степень какого полинома больше. Но тогда по условию полином большей степени должен иметь 2 степень. Соответственно полином меньшей степени имеет 1 или 0 степень. Но тогда полином : x*P(x)*Q(x) имеет 2 или 3 степень, что невозможно , тк по условию : P(x)*x*Q(x) должен иметь 9+1=10 степень. То мы пришли к противоречию .
Значит степени полиномов P(x) и x*Q(x) должны быть равны.
Тогда тк степень x*P(x)*Q(x) равна 10. То степень полинома P(x) равна:10/2=5
2) Полином :
P(x) +Q(x) имеет степень 3, а полином
P(x)-Q(x) имеет степень 5.
Тогда сумма и разность этих полиномов имеет 5 степень:
То есть 2*P(x) имеет 5 степень и 2*Q(x) имеет 5 степень.
Тогда P(x)*Q(x) имеет 10 степень.
cамый легкий здесь - использование формул сокращенного умножения. так (х²+1)²=х⁴+2х²+1, поэтому, если представить, что
х²=2х²-х², то легко выйти на формулу разности квадратов, итак,
х⁴+х²+1 =(х⁴+2х²+1) -х²=(х²+1)²-х²=(х²+1-х)(х²+1+х), конечно, можно продолжать раскладывать каждый квадратный трехчлен на множители, но уже не на действительные, т.к. у каждой скобки дискриминант меньше нуля, и действительных корней не получим. итак, если необходимо продолжить, то
х²+1-х=0; х=(1±√(1-4))/2=(1±√3i)/2, и тогда (х²+1-х)=(х-(1+√3i)/2)((х-(1-√3i)/2);
аналогично х²+1+х=0; х=(-1±√(1-4))/2=(1±√3i)/2, и тогда (х²+1+х)=
(х-(-1+√3i)/2)((х-(-1-√3i)/2);
и разложение можно продолжить.
х⁴+х²+1 =(х-(1+√3i)/2)((х-(1-√3i)/2)(х-(-1+√3i)/2)((х-(-1-√3i)/2);