I. Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить на этот одночлен каждый член многочлена и полученные произведения сложить.Пример 1. Умножить одночлен на многочлен: 2a·(4a2-0,5ab+5a3).Решение. Одночлен 2а будем умножать на каждый одночлен многочлена:2a·(4a2-0,5ab+5a3)=2a∙4a2+2a∙(-0,5ab)+2a∙5a3=8a3-a2b+10a4. Запишем полученный многочлен в стандартном виде:10a4+8a3-a2b.Пример 2. Умножить многочлен на одночлен: (3xyz5-4,5x2y+6xy3+2,5y2z)∙(-0,4x3).Решение. Каждое слагаемое, стоящее в скобках, умножаем на одночлен (-0,4x3).(3xyz5-4,5x2y+6xy3+2,5y2z)∙(-0,4x3)==3xyz5∙(-0,4x3) -4,5x2y∙(-0,4x3)+6xy3∙(-0,4x3)+2,5y2z∙(-0,4x3)==-1,2x4yz5+1,8x5y-2,4x4y3-x3y2z.II. Представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов называется разложением многочлена на множители. III. Вынесение общего множителя за скобки – простейший разложения многочлена на множители.Пример 3. Разложить на множители многочлен: 5a3+25ab-30a2.Решение. Вынесем общий множитель всех членов многочлена за скобки. Это одночлен5а, потому что на 5а делится каждый из членов данного многочлена. Итак, 5а мы запишем перед скобками, а в скобках запишем частные от деления каждого одночлена на5а.5a3+25ab-30a2=5a·(a2+5b-6a). Проверяем себя: если мы умножим 5а на многочлен в скобках a2+5b-6a, то получим данный многочлен 5a3+25ab-30a2.Пример 4.Вынесите общий множитель за скобки: (x+2y)2-4·(x+2y).Решение. (x+2y)2-4·(x+2y)=(x+2y)(x+2y-4).Общим множителем здесь являлся двучлен (х+2у). Мы вынесли его за скобки, а в скобках записали частные от деления данных членов (x+2y)2 и -4·(x+2y) на их общий делитель(х+2у). В результате мы представили данный многочлен в виде произведения двух многочленов (x+2y) и (x+2y-4), другими словами, мы разложили многочлен (x+2y)2-4·(x+2y) на множители. ответ: (x+2y)(x+2y-4).IV. Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и записать полученные произведения в виде суммы одночленов. При необходимости привести подобные слагаемые.Пример 5. Выполнить умножение многочленов: (4x2-6xy+9y2)(2x+3y).Решение. По правилу мы должны каждый член первого многочлена (4x2-6xy+9y2) умножить на каждый член второго многочлена (2x+3y). Чтобы не запутаться, делайте всегда так: сначала умножьте каждый член первого многочлена на 2х, потом опять каждый член первого многочлена умножайте на 3у.(4x2-6xy+9y2)(2x+3y)=4x2∙2x-6xy∙2x+9y2∙2x+4x2∙3y-6xy∙3y+9y2∙3y==8x3-12x2y+18xy2+12x2y-18xy2+27y3=8x3+27y3.Подобные слагаемые -12x2y и 12x2y, а также 18xy2 и -18xy2 оказались противоположными, их суммы равны нулю.ответ: 8x3+27y3.
III. Вынесение общего множителя за скобки – простейший разложения многочлена на множители.Пример 3. Разложить на множители многочлен: 5a3+25ab-30a2.Решение. Вынесем общий множитель всех членов многочлена за скобки. Это одночлен5а, потому что на 5а делится каждый из членов данного многочлена. Итак, 5а мы запишем перед скобками, а в скобках запишем частные от деления каждого одночлена на5а.5a3+25ab-30a2=5a·(a2+5b-6a). Проверяем себя: если мы умножим 5а на многочлен в скобках a2+5b-6a, то получим данный многочлен 5a3+25ab-30a2.Пример 4.Вынесите общий множитель за скобки: (x+2y)2-4·(x+2y).Решение. (x+2y)2-4·(x+2y)=(x+2y)(x+2y-4).Общим множителем здесь являлся двучлен (х+2у). Мы вынесли его за скобки, а в скобках записали частные от деления данных членов (x+2y)2 и -4·(x+2y) на их общий делитель(х+2у). В результате мы представили данный многочлен в виде произведения двух многочленов (x+2y) и (x+2y-4), другими словами, мы разложили многочлен (x+2y)2-4·(x+2y) на множители. ответ: (x+2y)(x+2y-4).IV. Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и записать полученные произведения в виде суммы одночленов. При необходимости привести подобные слагаемые.Пример 5. Выполнить умножение многочленов: (4x2-6xy+9y2)(2x+3y).Решение. По правилу мы должны каждый член первого многочлена (4x2-6xy+9y2) умножить на каждый член второго многочлена (2x+3y). Чтобы не запутаться, делайте всегда так: сначала умножьте каждый член первого многочлена на 2х, потом опять каждый член первого многочлена умножайте на 3у.(4x2-6xy+9y2)(2x+3y)=4x2∙2x-6xy∙2x+9y2∙2x+4x2∙3y-6xy∙3y+9y2∙3y==8x3-12x2y+18xy2+12x2y-18xy2+27y3=8x3+27y3.Подобные слагаемые -12x2y и 12x2y, а также 18xy2 и -18xy2 оказались противоположными, их суммы равны нулю.ответ: 8x3+27y3.