Чтобы решить это неравенство, мы должны найти значения x, при которых выражение меньше нуля.
Сначала необходимо найти корни квадратного уравнения x^2 - 5x - 36 = 0. Можно воспользоваться формулой дискриминанта D = b^2 - 4ac, где a, b и c - коэффициенты квадратного уравнения.
В нашем случае, a = 1, b = -5 и c = -36. Подставляя значения в формулу дискриминанта, получаем: D = (-5)^2 - 4 * 1 * (-36) = 25 + 144 = 169.
Теперь найдем корни квадратного уравнения, используя формулу: x = (-b ± √D) / 2a.
Таким образом, корни уравнения x^2 - 5x - 36 = 0 равны x1 = 9 и x2 = -4.
Теперь рассмотрим интервалы между корнями и значения выражения x^2 - 5x - 36 в каждом из этих интервалов.
Интервал (-∞, -4): Берем произвольное значение x из этого интервала, например x = -5. Подставив это значение в неравенство, получаем (-5)^2 - 5*(-5) - 36 = 25 + 25 - 36 = 14. Получается, что значение выражения положительное.
Интервал (-4, 9): Берем произвольное значение x из этого интервала, например x = 0. Подставив это значение в неравенство, получаем 0^2 - 5*0 - 36 = -36. Получается, что значение выражения отрицательное.
Интервал (9, +∞): Берем произвольное значение x из этого интервала, например x = 10. Подставив это значение в неравенство, получаем 10^2 - 5*10 - 36 = 100 - 50 - 36 = 14. Получается, что значение выражения положительное.
Исходя из этого, наше неравенство x^2 - 5x - 36 < 0 выполняется на интервале (-4, 9).
2) x^2 + 7x - 30 > 0:
Процедура решения этого неравенства будет аналогична предыдущему.
Найдем корни квадратного уравнения x^2 + 7x - 30 = 0, используя формулу: x = (-b ± √D) / 2a.
Для этого уравнения, a = 1, b = 7 и c = -30. Вычисляем дискриминант: D = 7^2 - 4 * 1 * (-30) = 49 + 120 = 169.
Рассмотрим интервалы между корнями и значения выражения x^2 + 7x - 30 в каждом из этих интервалов.
Интервал (-∞, -3): Берем произвольное значение x из этого интервала, например x = -4. Подставим это значение в неравенство, получаем (-4)^2 + 7*(-4) - 30 = 16 - 28 - 30 = -42. Получаем отрицательное значение.
Интервал (-3, 10): Берем произвольное значение x из этого интервала, например x = 0. Подставим это значение в неравенство, получаем 0^2 + 7*0 - 30 = -30. Получаем отрицательное значение.
Интервал (10, +∞): Берем произвольное значение x из этого интервала, например x = 11. Подставим это значение в неравенство, получаем 11^2 + 7*11 - 30 = 121 + 77 - 30 = 168. Получаем положительное значение.
Таким образом, неравенство x^2 + 7x - 30 > 0 выполняется на интервалах (-∞, -3) и (10, +∞).
3) -x^2 + 4,6x - 2,4 < 0:
Чтобы решить это неравенство, мы должны найти значения x, при которых выражение меньше нуля.
Перенесем все слагаемые на левую сторону, получим -x^2 + 4,6x - 2,4 < 0.
Для простоты, умножим обе части неравенства на -1, изменяя направление неравенства: x^2 - 4,6x + 2,4 > 0.
Теперь применим тот же подход, что и в предыдущих случаях.
Найдем корни квадратного уравнения x^2 - 4,6x + 2,4 = 0, используя формулу: x = (-b ± √D) / 2a.
Для этого уравнения, a = 1, b = -4,6 и c = 2,4. Вычисляем дискриминант: D = (-4,6)^2 - 4 * 1 * 2,4 = 21,16 - 9,6 = 11,56.
Рассмотрим интервалы между корнями и значения выражения x^2 - 4,6x + 2,4 в каждом из этих интервалов.
Интервал (-∞, 0,6): Берем произвольное значение x из этого интервала, например x = 0. Подставив это значение в неравенство, получаем 0^2 - 4,6*0 + 2,4 = 2,4. Получается, что значение выражения положительное.
Интервал (0,6, 4): Берем произвольное значение x из этого интервала, например x = 2. Подставив это значение в неравенство, получаем 2^2 - 4,6*2 + 2,4 = 4 - 9,2 + 2,4 = -2,8. Получается, что значение выражения отрицательное.
Интервал (4, +∞): Берем произвольное значение x из этого интервала, например x = 5. Подставив это значение в неравенство, получаем 5^2 - 4,6*5 + 2,4 = 25 - 23 + 2,4 = 4,4. Получается, что значение выражения положительное.
Таким образом, неравенство -x^2 + 4,6x - 2,4 < 0 выполняется на интервале (0,6, 4).
4) -3x^2 + 4x + 4 > 0:
Выразим это неравенство в другой форме, поменяв местами неравенство и слагаемые слева: -3x^2 + 4x + 4 < 0.
Как и раньше, проделаем вычисления в несколько шагов.
Найдем корни квадратного уравнения -3x^2 + 4x + 4 = 0, используя формулу: x = (-b ± √D) / 2a.
Для этого уравнения, a = -3, b = 4 и c = 4. Вычисляем дискриминант: D = 4^2 - 4 * (-3) * 4 = 16 + 48 = 64.
Рассмотрим интервалы между корнями и значения выражения -3x^2 + 4x + 4 в каждом из этих интервалов.
Интервал (-∞, -2/3): Берем произвольное значение x из этого интервала, например x = -1. Подставив это значение в неравенство, получаем -3*(-1)^2 + 4*(-1) + 4 = -3 + (-4) + 4 = -3. Получается, что значение выражения отрицательное.
Интервал (-2/3, 2): Берем произвольное значение x из этого интервала, например x = 0. Подставив это значение в неравенство, получаем -3*0^2 + 4*0 + 4 = 4. Получается, что значение выражения положительное.
Интервал (2, +∞): Берем произвольное значение x из этого интервала, например x = 3. Подставив это значение в неравенство, получаем -3*3^2 + 4*3 + 4 = -27 + 12 + 4 = -11. Получается, что значение выражения отрицательное.
Таким образом, неравенство -3x^2 + 4x + 4 > 0 выполняется на интервале (-2/3, 2).
5) 4x^2 - 16x < 0:
Это неравенство уже выражено в более простой форме.
Найдем корни квадратного уравнения 4x^2 - 16x = 0, используя формулу: x = (-b ± √D) / 2a.
Для этого уравнения, a = 4, b = -16 и c = 0. Вычисляем дискриминант: D = (-16)^2 - 4 * 4 * 0 = 256 - 0 = 256.
Рассмотрим интервалы между корнями и значения выражения 4x^2 - 16x в каждом из этих интервалов.
Интервал (-∞, 0): Берем произвольное значение x из этого интервала, например x = -1. Подставив это значение в неравенство, получаем 4*(-1)^2 - 16*(-1) = 4 + 16 = 20. Получается, что значение выражения положительное.
Интервал (0, 4): Берем произвольное значение x из этого интервала, например x = 2. Подставив это значение в неравенство, получаем 4*2^2 - 16*2 = 16 - 32 = -16. Получается, что значение выражения отрицательное.
Интервал (4, +∞): Берем произвольное значение x из этого интервала, например x = 5. Подставив это значение в неравенство, получаем 4*5^2 - 16*5 = 100 - 80 = 20. Получается, что значение выражения положительное.
Таким образом, неравенство 4x^2 - 16x < 0 выполняется на интервале (0, 4).
6) 9x^2 - 25 > 0:
Это неравенство уже выражено в более простой форме.
Найдем корни квадратного уравнения 9x^2 - 25 = 0, используя формулу: x = (-b ± √D) / 2a.
Для этого уравнения, a = 9, b = 0 и c = -25. Вычисляем дискриминант: D = 0^2 - 4 * 9 * (-25) = 0 + 900 = 900.
1) x^2 - 5x - 36 < 0:
Чтобы решить это неравенство, мы должны найти значения x, при которых выражение меньше нуля.
Сначала необходимо найти корни квадратного уравнения x^2 - 5x - 36 = 0. Можно воспользоваться формулой дискриминанта D = b^2 - 4ac, где a, b и c - коэффициенты квадратного уравнения.
В нашем случае, a = 1, b = -5 и c = -36. Подставляя значения в формулу дискриминанта, получаем: D = (-5)^2 - 4 * 1 * (-36) = 25 + 144 = 169.
Теперь найдем корни квадратного уравнения, используя формулу: x = (-b ± √D) / 2a.
x1 = (-(-5) + √169) / (2 * 1) = (5 + 13) / 2 = 18 / 2 = 9.
x2 = (-(-5) - √169) / (2 * 1) = (5 - 13) / 2 = -8 / 2 = -4.
Таким образом, корни уравнения x^2 - 5x - 36 = 0 равны x1 = 9 и x2 = -4.
Теперь рассмотрим интервалы между корнями и значения выражения x^2 - 5x - 36 в каждом из этих интервалов.
Интервал (-∞, -4): Берем произвольное значение x из этого интервала, например x = -5. Подставив это значение в неравенство, получаем (-5)^2 - 5*(-5) - 36 = 25 + 25 - 36 = 14. Получается, что значение выражения положительное.
Интервал (-4, 9): Берем произвольное значение x из этого интервала, например x = 0. Подставив это значение в неравенство, получаем 0^2 - 5*0 - 36 = -36. Получается, что значение выражения отрицательное.
Интервал (9, +∞): Берем произвольное значение x из этого интервала, например x = 10. Подставив это значение в неравенство, получаем 10^2 - 5*10 - 36 = 100 - 50 - 36 = 14. Получается, что значение выражения положительное.
Исходя из этого, наше неравенство x^2 - 5x - 36 < 0 выполняется на интервале (-4, 9).
2) x^2 + 7x - 30 > 0:
Процедура решения этого неравенства будет аналогична предыдущему.
Найдем корни квадратного уравнения x^2 + 7x - 30 = 0, используя формулу: x = (-b ± √D) / 2a.
Для этого уравнения, a = 1, b = 7 и c = -30. Вычисляем дискриминант: D = 7^2 - 4 * 1 * (-30) = 49 + 120 = 169.
Теперь найдем корни уравнения:
x1 = (-7 + √169) / (2 * 1) = (7 + 13) / 2 = 20 / 2 = 10.
x2 = (-7 - √169) / (2 * 1) = (7 - 13) / 2 = -6 / 2 = -3.
Итак, корни уравнения x^2 + 7x - 30 = 0 равны x1 = 10 и x2 = -3.
Рассмотрим интервалы между корнями и значения выражения x^2 + 7x - 30 в каждом из этих интервалов.
Интервал (-∞, -3): Берем произвольное значение x из этого интервала, например x = -4. Подставим это значение в неравенство, получаем (-4)^2 + 7*(-4) - 30 = 16 - 28 - 30 = -42. Получаем отрицательное значение.
Интервал (-3, 10): Берем произвольное значение x из этого интервала, например x = 0. Подставим это значение в неравенство, получаем 0^2 + 7*0 - 30 = -30. Получаем отрицательное значение.
Интервал (10, +∞): Берем произвольное значение x из этого интервала, например x = 11. Подставим это значение в неравенство, получаем 11^2 + 7*11 - 30 = 121 + 77 - 30 = 168. Получаем положительное значение.
Таким образом, неравенство x^2 + 7x - 30 > 0 выполняется на интервалах (-∞, -3) и (10, +∞).
3) -x^2 + 4,6x - 2,4 < 0:
Чтобы решить это неравенство, мы должны найти значения x, при которых выражение меньше нуля.
Перенесем все слагаемые на левую сторону, получим -x^2 + 4,6x - 2,4 < 0.
Для простоты, умножим обе части неравенства на -1, изменяя направление неравенства: x^2 - 4,6x + 2,4 > 0.
Теперь применим тот же подход, что и в предыдущих случаях.
Найдем корни квадратного уравнения x^2 - 4,6x + 2,4 = 0, используя формулу: x = (-b ± √D) / 2a.
Для этого уравнения, a = 1, b = -4,6 и c = 2,4. Вычисляем дискриминант: D = (-4,6)^2 - 4 * 1 * 2,4 = 21,16 - 9,6 = 11,56.
Теперь найдем корни уравнения:
x1 = (4,6 + √11,56) / (2 * 1) = (4,6 + 3,4) / 2 = 8 / 2 = 4.
x2 = (4,6 - √11,56) / (2 * 1) = (4,6 - 3,4) / 2 = 1,2 / 2 = 0,6.
Итак, корни уравнения x^2 - 4,6x + 2,4 = 0 равны x1 = 4 и x2 = 0,6.
Рассмотрим интервалы между корнями и значения выражения x^2 - 4,6x + 2,4 в каждом из этих интервалов.
Интервал (-∞, 0,6): Берем произвольное значение x из этого интервала, например x = 0. Подставив это значение в неравенство, получаем 0^2 - 4,6*0 + 2,4 = 2,4. Получается, что значение выражения положительное.
Интервал (0,6, 4): Берем произвольное значение x из этого интервала, например x = 2. Подставив это значение в неравенство, получаем 2^2 - 4,6*2 + 2,4 = 4 - 9,2 + 2,4 = -2,8. Получается, что значение выражения отрицательное.
Интервал (4, +∞): Берем произвольное значение x из этого интервала, например x = 5. Подставив это значение в неравенство, получаем 5^2 - 4,6*5 + 2,4 = 25 - 23 + 2,4 = 4,4. Получается, что значение выражения положительное.
Таким образом, неравенство -x^2 + 4,6x - 2,4 < 0 выполняется на интервале (0,6, 4).
4) -3x^2 + 4x + 4 > 0:
Выразим это неравенство в другой форме, поменяв местами неравенство и слагаемые слева: -3x^2 + 4x + 4 < 0.
Как и раньше, проделаем вычисления в несколько шагов.
Найдем корни квадратного уравнения -3x^2 + 4x + 4 = 0, используя формулу: x = (-b ± √D) / 2a.
Для этого уравнения, a = -3, b = 4 и c = 4. Вычисляем дискриминант: D = 4^2 - 4 * (-3) * 4 = 16 + 48 = 64.
Теперь найдем корни уравнения:
x1 = (-4 + √64) / (2 * (-3)) = (-4 + 8) / (-6) = 4 / (-6) = -2/3.
x2 = (-4 - √64) / (2 * (-3)) = (-4 - 8) / (-6) = -12 / (-6) = 2.
Итак, корни уравнения -3x^2 + 4x + 4 = 0 равны x1 = -2/3 и x2 = 2.
Рассмотрим интервалы между корнями и значения выражения -3x^2 + 4x + 4 в каждом из этих интервалов.
Интервал (-∞, -2/3): Берем произвольное значение x из этого интервала, например x = -1. Подставив это значение в неравенство, получаем -3*(-1)^2 + 4*(-1) + 4 = -3 + (-4) + 4 = -3. Получается, что значение выражения отрицательное.
Интервал (-2/3, 2): Берем произвольное значение x из этого интервала, например x = 0. Подставив это значение в неравенство, получаем -3*0^2 + 4*0 + 4 = 4. Получается, что значение выражения положительное.
Интервал (2, +∞): Берем произвольное значение x из этого интервала, например x = 3. Подставив это значение в неравенство, получаем -3*3^2 + 4*3 + 4 = -27 + 12 + 4 = -11. Получается, что значение выражения отрицательное.
Таким образом, неравенство -3x^2 + 4x + 4 > 0 выполняется на интервале (-2/3, 2).
5) 4x^2 - 16x < 0:
Это неравенство уже выражено в более простой форме.
Найдем корни квадратного уравнения 4x^2 - 16x = 0, используя формулу: x = (-b ± √D) / 2a.
Для этого уравнения, a = 4, b = -16 и c = 0. Вычисляем дискриминант: D = (-16)^2 - 4 * 4 * 0 = 256 - 0 = 256.
Теперь найдем корни уравнения:
x1 = (-(-16) + √256) / (2 * 4) = (16 + 16) / 8 = 32 / 8 = 4.
x2 = (-(-16) - √256) / (2 * 4) = (16 - 16) / 8 = 0 / 8 = 0.
Итак, корни уравнения 4x^2 - 16x = 0 равны x1 = 4 и x2 = 0.
Рассмотрим интервалы между корнями и значения выражения 4x^2 - 16x в каждом из этих интервалов.
Интервал (-∞, 0): Берем произвольное значение x из этого интервала, например x = -1. Подставив это значение в неравенство, получаем 4*(-1)^2 - 16*(-1) = 4 + 16 = 20. Получается, что значение выражения положительное.
Интервал (0, 4): Берем произвольное значение x из этого интервала, например x = 2. Подставив это значение в неравенство, получаем 4*2^2 - 16*2 = 16 - 32 = -16. Получается, что значение выражения отрицательное.
Интервал (4, +∞): Берем произвольное значение x из этого интервала, например x = 5. Подставив это значение в неравенство, получаем 4*5^2 - 16*5 = 100 - 80 = 20. Получается, что значение выражения положительное.
Таким образом, неравенство 4x^2 - 16x < 0 выполняется на интервале (0, 4).
6) 9x^2 - 25 > 0:
Это неравенство уже выражено в более простой форме.
Найдем корни квадратного уравнения 9x^2 - 25 = 0, используя формулу: x = (-b ± √D) / 2a.
Для этого уравнения, a = 9, b = 0 и c = -25. Вычисляем дискриминант: D = 0^2 - 4 * 9 * (-25) = 0 + 900 = 900.
Теперь найдем корни уравнения:
x1 = (0 + √900) / (2 * 9) = 30 / 18 = 5/3.
x2 = (0 - √900) / (2 * 9) = -30 / 18 = -5/3.
Итак, корни уравнения 9x^2 - 25 = 0 равны x1 = 5/3 и x2 = -5/3.
Рассмотрим интервалы между корнями и значения выражения 9x^2