Для решения неравенства (4x-4)(1+x)(5-x)>0, мы будем использовать метод интервалов.
Шаг 1: Найти все значения x, при которых выражение (4x-4) равно 0.
(4x-4) = 0
4x = 4
x = 1
Таким образом, x = 1 - это одна из точек разбиения интервалов. Теперь у нас есть три интервала: (-∞, 1), (1, ∞).
Шаг 2: Найти все значения x, при которых выражение (1+x) равно 0.
(1+x) = 0
x = -1
Таким образом, x = -1 - это следующая точка разбиения интервалов. Теперь у нас есть четыре интервала: (-∞, -1), (-1, 1), (1, ∞).
Шаг 3: Найти все значения x, при которых выражение (5-x) равно 0.
(5-x) = 0
x = 5
Таким образом, x = 5 - это последняя точка разбиения интервалов. Теперь у нас есть пять интервалов: (-∞, -1), (-1, 1), (1, 5), (5, ∞).
Шаг 4: Анализ интервалов.
Теперь для каждого интервала, мы будем определять, в каких из них выполняется условие (4x-4)(1+x)(5-x) > 0.
Для интервала (-∞, -1):
Применяем метод знаков. Подставим в выражение (-∞, -1) значение x = -2, чтобы определить знак.
(4(-2)-4)(1+(-2))(5-(-2)) = (-8)(-1)(7) = 56
Знак результатирующего значения - положительный.
То есть, в интервале (-∞, -1) неравенство (4x-4)(1+x)(5-x) > 0 выполняется.
Для интервала (-1, 1):
Применяем метод знаков. Подставим в выражение (-1, 1) значение x = 0, чтобы определить знак.
(4(0)-4)(1+(0))(5-(0)) = (-4)(1)(5) = -20
Знак результатирующего значения - отрицательный.
То есть, в интервале (-1, 1) неравенство (4x-4)(1+x)(5-x) > 0 не выполняется.
Для интервала (1, 5):
Применяем метод знаков. Подставим в выражение (1, 5) значение x = 2, чтобы определить знак.
(4(2)-4)(1+(2))(5-(2)) = (4)(3)(3) = 36
Знак результатирующего значения - положительный.
То есть, в интервале (1, 5) неравенство (4x-4)(1+x)(5-x) > 0 выполняется.
Для интервала (5, ∞):
Применяем метод знаков. Подставим в выражение (5, ∞) значение x = 6, чтобы определить знак.
(4(6)-4)(1+(6))(5-(6)) = (20)(7)(-1) = -140
Знак результатирующего значения - отрицательный.
То есть, в интервале (5, ∞) неравенство (4x-4)(1+x)(5-x) > 0 не выполняется.
Шаг 5: Объединение интервалов.
Используя результаты анализа интервалов, мы можем объединить интервалы, в которых неравенство (4x-4)(1+x)(5-x) > 0 выполняется.
Итак, решением неравенства является объединение интервалов (-∞, -1) и (1, 5):
x ∈ (-∞, -1) U (1, 5).
Теперь рассмотрим следующее неравенство: x^3 - 81 ≥ 0.
Шаг 2: Решить уравнение (x-3)(x^2+3x+9) = 0, чтобы найти все критические точки.
(x-3)(x^2+3x+9) = 0
x-3 = 0 или x^2+3x+9 = 0
x = 3 или x^2+3x+9 = 0
x = 3 или нет рациональных корней у квадратного уравнения x^2+3x+9 = 0.
Шаг 3: Анализ интервалов.
Мы знаем из предыдущего шага, что критическая точка x = 3.
Теперь мы можем использовать метод знаков, чтобы определить, в каких интервалах выполняется неравенство x^3 - 81 ≥ 0.
Для интервала (-∞, 3):
Применяем метод знаков. Подставляем в неравенство (-∞, 3) значение x = 0, чтобы определить знак.
0^3 - 81 = -81
Знак результатирующего значения - отрицательный.
То есть, в интервале (-∞, 3) неравенство x^3 - 81 ≥ 0 не выполняется.
Для интервала (3, ∞):
Применяем метод знаков. Подставляем в неравенство (3, ∞) значение x = 4, чтобы определить знак.
4^3 - 81 = 37
Знак результатирующего значения - положительный.
То есть, в интервале (3, ∞) неравенство x^3 - 81 ≥ 0 выполняется.
Шаг 4: Объединение интервалов.
Используя результаты анализа интервалов, мы можем объединить интервалы, в которых неравенство x^3 - 81 ≥ 0 выполняется.
Итак, решением неравенства является интервал (3, ∞):
x ∈ (3, ∞).
Итак, решением исходного неравенства (4x-4)(1+x)(5-x) > 0 и x^3 - 81 ≥ 0 является пересечение решений двух неравенств:
x ∈ (-∞, -1) U (1, 5) ∩ (3, ∞) = (3, 5).
Шаг 1: Найти все значения x, при которых выражение (4x-4) равно 0.
(4x-4) = 0
4x = 4
x = 1
Таким образом, x = 1 - это одна из точек разбиения интервалов. Теперь у нас есть три интервала: (-∞, 1), (1, ∞).
Шаг 2: Найти все значения x, при которых выражение (1+x) равно 0.
(1+x) = 0
x = -1
Таким образом, x = -1 - это следующая точка разбиения интервалов. Теперь у нас есть четыре интервала: (-∞, -1), (-1, 1), (1, ∞).
Шаг 3: Найти все значения x, при которых выражение (5-x) равно 0.
(5-x) = 0
x = 5
Таким образом, x = 5 - это последняя точка разбиения интервалов. Теперь у нас есть пять интервалов: (-∞, -1), (-1, 1), (1, 5), (5, ∞).
Шаг 4: Анализ интервалов.
Теперь для каждого интервала, мы будем определять, в каких из них выполняется условие (4x-4)(1+x)(5-x) > 0.
Для интервала (-∞, -1):
Применяем метод знаков. Подставим в выражение (-∞, -1) значение x = -2, чтобы определить знак.
(4(-2)-4)(1+(-2))(5-(-2)) = (-8)(-1)(7) = 56
Знак результатирующего значения - положительный.
То есть, в интервале (-∞, -1) неравенство (4x-4)(1+x)(5-x) > 0 выполняется.
Для интервала (-1, 1):
Применяем метод знаков. Подставим в выражение (-1, 1) значение x = 0, чтобы определить знак.
(4(0)-4)(1+(0))(5-(0)) = (-4)(1)(5) = -20
Знак результатирующего значения - отрицательный.
То есть, в интервале (-1, 1) неравенство (4x-4)(1+x)(5-x) > 0 не выполняется.
Для интервала (1, 5):
Применяем метод знаков. Подставим в выражение (1, 5) значение x = 2, чтобы определить знак.
(4(2)-4)(1+(2))(5-(2)) = (4)(3)(3) = 36
Знак результатирующего значения - положительный.
То есть, в интервале (1, 5) неравенство (4x-4)(1+x)(5-x) > 0 выполняется.
Для интервала (5, ∞):
Применяем метод знаков. Подставим в выражение (5, ∞) значение x = 6, чтобы определить знак.
(4(6)-4)(1+(6))(5-(6)) = (20)(7)(-1) = -140
Знак результатирующего значения - отрицательный.
То есть, в интервале (5, ∞) неравенство (4x-4)(1+x)(5-x) > 0 не выполняется.
Шаг 5: Объединение интервалов.
Используя результаты анализа интервалов, мы можем объединить интервалы, в которых неравенство (4x-4)(1+x)(5-x) > 0 выполняется.
Итак, решением неравенства является объединение интервалов (-∞, -1) и (1, 5):
x ∈ (-∞, -1) U (1, 5).
Теперь рассмотрим следующее неравенство: x^3 - 81 ≥ 0.
Шаг 1: Разложить на множители полином x^3 - 81.
x^3 - 81 = (x-3)(x^2+3x+9).
Шаг 2: Решить уравнение (x-3)(x^2+3x+9) = 0, чтобы найти все критические точки.
(x-3)(x^2+3x+9) = 0
x-3 = 0 или x^2+3x+9 = 0
x = 3 или x^2+3x+9 = 0
x = 3 или нет рациональных корней у квадратного уравнения x^2+3x+9 = 0.
Шаг 3: Анализ интервалов.
Мы знаем из предыдущего шага, что критическая точка x = 3.
Теперь мы можем использовать метод знаков, чтобы определить, в каких интервалах выполняется неравенство x^3 - 81 ≥ 0.
Для интервала (-∞, 3):
Применяем метод знаков. Подставляем в неравенство (-∞, 3) значение x = 0, чтобы определить знак.
0^3 - 81 = -81
Знак результатирующего значения - отрицательный.
То есть, в интервале (-∞, 3) неравенство x^3 - 81 ≥ 0 не выполняется.
Для интервала (3, ∞):
Применяем метод знаков. Подставляем в неравенство (3, ∞) значение x = 4, чтобы определить знак.
4^3 - 81 = 37
Знак результатирующего значения - положительный.
То есть, в интервале (3, ∞) неравенство x^3 - 81 ≥ 0 выполняется.
Шаг 4: Объединение интервалов.
Используя результаты анализа интервалов, мы можем объединить интервалы, в которых неравенство x^3 - 81 ≥ 0 выполняется.
Итак, решением неравенства является интервал (3, ∞):
x ∈ (3, ∞).
Итак, решением исходного неравенства (4x-4)(1+x)(5-x) > 0 и x^3 - 81 ≥ 0 является пересечение решений двух неравенств:
x ∈ (-∞, -1) U (1, 5) ∩ (3, ∞) = (3, 5).