Исследуем функцию, заданную формулой: yx=x3-3x Область определения: множество всех действительных чисел Первая производная: y'x=3x2-3 x3-3x' = =x3'-3x' = =3x2-3x' = =3x2-3•1 = =3x2-3 Вторая производная: y''x=6x Вторая производная это производная от первой производной. 3x2-3' = =3x2'-3' = =3x2'-0 = =3x2' = =32x = =3•2x = =3•2x = =6x Точки пересечения с осью x : x=-3;x=0;x=3 Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс приравняем функцию к нулю. x3-3x=0 Решаем уравнение методом разложения на множители. xx2-3=0 решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи. Случай 1 . x=0 Случай 2 . x2-3=0 Перенесем известные величины в правую часть уравнения. x2=3 ответ этого случая: x=-3;x=3 . ответ: x=-3;x=0;x=3 . Точки пересечения с осью y : y=0 Пусть x=0 y0=03-3•0=0 Вертикальные асимптоты: нет Горизонтальные асимптоты: нет . Наклонные асимптоты: нет . yx стремится к бесконечности при x стремящемся к бесконечности. yxx стремится к бесконечности при x стремящемся к бесконечности. Критические точки: x=-1;x=1 Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю и решим полученное уравнение. 3x2-3=0 3x2=3 x2=3:3 x2=1 ответ: x=-1;x=1 . Возможные точки перегиба: x=0 Для нахождения возможных точек перегиба приравняем вторую производную к нулю и решим полученное уравнение. 6x=0 x=0:6 x=0 ответ: x=0 . Точки разрыва: нет Симметрия относительно оси ординат: нет Функция f(x) называется четной, если f(-x)=f(x). yx-y-x = =x3-3x--x3-3-x = =x3-3x--x3+3-x = =x3-3x+x3-3x = =2x3+-6x = =2x3-6x 2x3-6x≠0 y-x≠yx Симметрия относительно начала координат: функция нечетная, график симметричен относительно начала координат. Функция f(x) называется нечетной, если f(-x)=-f(x). yx+y-x = =x3-3x+-x3-3-x = =x3-3x+-x3-3-x = =x3-3x-x3+3x = =x3-3x-x3+3x = =0 y-x=-yx Относительные экстремумы: Проходя через точку минимума, производная функции меняет знак с (-) на (+). Относительный минимум 1;-2 . Проходя через точку максимума. производная функции меняет знак с (+) на (-). Относительный максимум -1;2 . Множество значений функции: множество всех действительных чисел Наименьшее значение: нет Наибольшее значение: нет
Область определения: множество всех действительных чисел
Первая производная: y'x=3x2-3
x3-3x' =
=x3'-3x' =
=3x2-3x' =
=3x2-3•1 =
=3x2-3
Вторая производная: y''x=6x
Вторая производная это производная от первой производной.
3x2-3' =
=3x2'-3' =
=3x2'-0 =
=3x2' =
=32x =
=3•2x =
=3•2x =
=6x
Точки пересечения с осью x : x=-3;x=0;x=3
Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс приравняем функцию к нулю.
x3-3x=0
Решаем уравнение методом разложения на множители.
xx2-3=0
решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи.
Случай 1 .
x=0
Случай 2 .
x2-3=0
Перенесем известные величины в правую часть уравнения.
x2=3
ответ этого случая: x=-3;x=3 .
ответ: x=-3;x=0;x=3 .
Точки пересечения с осью y : y=0
Пусть x=0
y0=03-3•0=0
Вертикальные асимптоты: нет
Горизонтальные асимптоты: нет .
Наклонные асимптоты: нет .
yx стремится к бесконечности при x стремящемся к бесконечности.
yxx стремится к бесконечности при x стремящемся к бесконечности.
Критические точки: x=-1;x=1
Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю и решим полученное уравнение.
3x2-3=0
3x2=3
x2=3:3
x2=1
ответ: x=-1;x=1 .
Возможные точки перегиба: x=0
Для нахождения возможных точек перегиба приравняем вторую производную к нулю и решим полученное уравнение.
6x=0
x=0:6
x=0
ответ: x=0 .
Точки разрыва: нет
Симметрия относительно оси ординат: нет
Функция f(x) называется четной, если f(-x)=f(x).
yx-y-x =
=x3-3x--x3-3-x =
=x3-3x--x3+3-x =
=x3-3x+x3-3x =
=2x3+-6x =
=2x3-6x
2x3-6x≠0
y-x≠yx
Симметрия относительно начала координат: функция нечетная, график симметричен относительно начала координат.
Функция f(x) называется нечетной, если f(-x)=-f(x).
yx+y-x =
=x3-3x+-x3-3-x =
=x3-3x+-x3-3-x =
=x3-3x-x3+3x =
=x3-3x-x3+3x =
=0
y-x=-yx
Относительные экстремумы:
Проходя через точку минимума, производная функции меняет знак с (-) на (+).
Относительный минимум 1;-2 .
Проходя через точку максимума. производная функции меняет знак с (+) на (-).
Относительный максимум -1;2 .
Множество значений функции: множество всех действительных чисел
Наименьшее значение: нет
Наибольшее значение: нет
D=25-0=25
x1= -5+√25 / 2*5= -5+5 / 2= 0/2=0
x2= -5-√25 / 5*2= -5-5 / 2=-10/2=-5
2) x²-4=0
D= 0-16=16
x1= 0+√16 / 2=4/2=2
x2=0-√16 / 2= -4/2=-2
3) 2x²+3x-5=0
D= 9+40=49
x1= -3+√49 / 2*2= -3+7 / 4= 4/4=1
x2= -3-√49 / 4= -3-7 / 4= -10/4= -5/2=-2,5
4) 2x²-3=0
D=0+24=24
x1= 3+√24 / 2*2= 3+2√6 / 4
x2= 3-√24 / 4= 3-2√6 / 4
5) x²+3x+2=0
D=9-8=1
x1= -3+√1 / 2= -3+1 / 2=-2/2=-1
x2= -3-√1 / 2= -3-1 / 2=-4/2=-2
6) x²+x-6=0
D=1+24=25
x1= -1+√25 / 2= -1+5 / 2=4/2=2
x2= -1-√25 / 2= -1-5 / 2=-6/2=-3
7)x²+4x+4=0
D=16-16=0
x= -4/2=-2
8) 3x²+8x-3=0
D= 64+36=100
x1= -8+√100 / 2*3= -8+10 / 6= 2/6=1/3
x2= -8-√100 / 6= -8-10 / 6= -18/6=-3
9) 6a²-6a+2=0
D=36-48=-8
ответ: нет корней,потому что D<0
10) x²+10x=0
D= 100-0= 100
x1= -10+√100 / 2= -10+10 / 2= 0/2=0
x2= -10-√100 / 2= -10-10 / 2= -20/2= -10
11)-x²+9=0
x²-9=0
D=0+36=36
x1= 0-√36 / 2= -6/2=-3
x2= 0+√36 / 2= 6/2=3