. Решите систему уравнений:
x²+xy-2y²+8x+10y+12=0
x²+3xy+2y²-x+y-6=0

{ x² + xy - 2y² + 8x + 10y - 12 = 0

{ x² + 3xy + 2y² - x + y - 6 = 0

Разложим каждое уравнение на множители, решив его как квадратное уравнение, относительно x.  

1) x² + xy - 2y² + 8x + 10y - 12 = 0

x² + (y + 8)x - 2y² + 10y + 12 = 0  

D = (y + 8)² - 4(- 2y² + 10y + 12) = y² + 16y + 64 + 8y² - 40y - 48 =  

= 9y² - 24y + 16 = (3y - 4)²  

x₁ = (- y - 8 + |3y - 4|) / 2  

Раскроем модуль:

[ x = (- y - 8 + 3y - 4) / 2

[ x = (- y - 8 - 3y + 4) / 2

 

[ x = (2y - 12) / 2

[ x = (- 4y - 4) / 2

[ x = y - 6

[ x = - 2y - 2

x₂ = (- y - 8 - |3y - 4|) / 2 - здесь раскрывается таким же образом и корни совпадают с предыдущими двумя  

Таким образом, первое уравнение можно записать как:

(x - y + 6)(x + 2y + 2) = 0

2) x² + 3xy + 2y² - x + y - 6 = 0

x² + (3y - 1)x + 2y² + y - 6 = 0

D = (3y - 1)² - 4(2y² + y - 6) = 9y² - 6y + 1 - 8y² - 4y + 24 =

= y² - 10y + 25 = (y - 5)²

x₁ = (-3y + 1 + |y - 5|) / 2

Раскроем модуль:

[ x = (-3y + 1 + y - 5) / 2

[ x = (-3y + 1 - y + 5) / 2

[ x = (-2y - 4) / 2

[ x = (-4y + 6) / 2

[ x = -y - 2

[ x = -2y + 3

x₂ = (-3y + 1 + |y - 5|) / 2 - здесь раскрывается таким же образом и корни совпадают с предыдущими двумя  

Таким образом, второе уравнение можно записать как:

(x + y + 2)(x + 2y - 3) = 0

Итого, получим систему уравнений:

{ (x - y + 6)(x + 2y + 2) = 0

{ (x + y + 2)(x + 2y - 3) = 0

Перепишем, как систему совокупностей уравнений:

{ [ x - y + 6 = 0

{ [ x + 2y + 2 = 0

{

{ [ x + y + 2 = 0

{ [ x + 2y - 3 = 0

Ну а дальше решим по отдельности 4 системы

ответ: (-4; 2); (-3; 3); (-2; 0)

Для решения данной системы уравнений мы можем использовать метод подстановки или метод сложения/вычитания уравнений.
Давайте воспользуемся методом сложения/вычитания.

1. Для начала сгруппируем уравнения, чтобы коэффициенты при одинаковых переменных были расположены рядом:
(1) x² + xy - 2y² + 8x + 10y + 12 = 0
(2) x² + 3xy + 2y² - x + y - 6 = 0

2. Далее, умножим уравнение (2) на -1:
-x² - 3xy - 2y² + x - y + 6 = 0

3. Теперь сложим полученное уравнение и уравнение (1):
(1) + (-x² - 3xy - 2y² + x - y + 6) = 0

При сложении, мы получим:
0x² + (-xy - 5y² + 9x + 9y + 18) = 0

Упростим:
-xy - 5y² + 9x + 9y + 18 = 0

4. Перегруппируем коэффициенты при переменных:
-xy + 9x + 9y - 5y² + 18 = 0

5. Сгруппируем переменные:
(-xy + 9x + 9y) - 5y² + 18 = 0

6. Теперь, давайте рассмотрим полученное уравнение в качестве квадратного трёхчлена с переменной y:
-5y² + (-xy + 9x + 9y) + 18 = 0

7. По общему правилу для решения квадратных уравнений, мы можем преобразовать его к виду:
-5y² + (9y - xy + 9x) + 18 = 0

8. Здесь мы видим квадратный трёхчлен с переменной y. Найдём его дискриминант:
D = (9y - xy + 9x)² - 4*(-5)*(18)

Раскроем скобки и произведения:
D = 81y² - 18xy + 81x² - 4*(-5)*(18)

Упростим:
D = 81y² - 18xy + 81x² + 360

9. Распишем уравнение оставшегося квадратного трёхчлена по формуле:
y = (-b ± √D) / (2a)

В нашем случае, a = -5, b = (9y - xy + 9x), c = 18.

10. Подставим выражение для D в формулу и упростим:
y = (-(9y - xy + 9x) ± √(81y² - 18xy + 81x² + 360)) / (2*(-5))

y = (xy - 9x - 9y ± √(81y² - 18xy + 81x² + 360)) / 10

11. Получили выражение для переменной y в зависимости от x. Теперь мы можем подставить это выражение в одно из исходных уравнений и решить его относительно x.

Допустим, мы выберем уравнение (1):
x² + xy - 2y² + 8x + 10y + 12 = 0

Подставим значение y из предыдущего шага:
x² + x(xy - 9x - 9y ± √(81y² - 18xy + 81x² + 360)) / 10 - 2y² + 8x + 10y + 12 = 0

Распишем и упростим выражение:
x² + xy² - 9x² - 9xy ± √(81y² - 18xy + 81x² + 360)x / 10 - 2y² + 8x + 10y + 12 = 0

Теперь уравнение зависит только от x и y, и мы можем решить его методами решения квадратных или линейных уравнений, проводя аналогичные шаги.

Желательно использовать численные методы для решения полученного уравнения.