Привет! Очень рад выступить в роли школьного учителя и помочь тебе решить эти уравнения с заменой переменной на множестве комплексных чисел. Давай рассмотрим каждое уравнение по очереди.
1) Уравнение: z-3+2√(z-3) = 8
Для начала, проведём замену переменной: пусть u = √(z-3). Тогда у нас есть следующие соотношения:
u = √(z-3)
u² = z-3
Теперь можем переписать исходное уравнение, используя замену:
u² + 2u = 8
Перенесём все слагаемые влево и получим квадратное уравнение:
u² + 2u - 8 = 0
У нас есть квадратное уравнение вида au² + bu + c = 0, где a = 1, b = 2 и c = -8.
Чтобы решить это квадратное уравнение, можем использовать формулу дискриминанта:
D = b² - 4ac
Подставим значения a, b и c в формулу:
D = (2)² - 4(1)(-8)
D = 4 + 32
D = 36
Значение дискриминанта D равно 36.
Теперь можем использовать формулы для нахождения корней квадратного уравнения:
Однако нам нужно найти значения для z, а не для u. Для этого используем нашу замену переменной:
u = √(z-3)
Теперь можем переписать это равенство со значениями u:
2 = √(z-3)
-4 = √(z-3)
Возведём оба выражения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
(2)² = (√(z-3))²
(-4)² = (√(z-3))²
Получим:
4 = z - 3
16 = z - 3
Теперь решим каждое уравнение отдельно:
1) z - 3 = 4
z = 4 + 3
z = 7
2) z - 3 = 16
z = 16 + 3
z = 19
Ответ: уравнение имеет два решения: z = 7 и z = 19.
Теперь перейдём ко второму уравнению.
2) Уравнение: (z+1)²(z²+2z) = 12
Для начала, раскроем скобки:
z² + 2z + 1)(z² + 2z) = 12
Умножим оба множителя и приведём подобные слагаемые:
z⁴ + 4z³ + 4z² + 2z³ + 8z² + 4z = 12
Упростим это уравнение:
z⁴ + 6z³ + 12z² + 4z = 12
Перенесем все слагаемые влево и получим эти четыре слагаемых равно 0:
z⁴ + 6z³ + 12z² + 4z - 12 = 0
В данном случае, у нас нет возможности сделать замены переменной или использовать привычные методы решения через дискриминант. Мы можем попытаться факторизовать это уравнение и найти его корни.
Попробуем разложить данный полином на множители методом группировки.
Сгруппируем слагаемые в следующем порядке: первые два слагаемых и последние два слагаемых.
(z⁴ + 6z³) + (12z² + 4z - 12) = 0
Вынесем общий множитель из каждой группы:
z³(z + 6) + 4z(3z + 1) - 12 = 0
Видим, что в первой группе есть общий множитель z³, а во второй группе есть общий множитель 4z.
Вынесем эти множители за скобки:
z³(z + 6) + 4z(3z + 1) - 12 = 0
(z³ + 4z)(z + 6) + (3z + 1)(z + 6) - 12 = 0
Теперь получили две новые группы: (z³ + 4z)(z + 6) и (3z + 1)(z + 6).
У нас получилось разложение на множители:
(z³ + 4z)(z + 6) + (3z + 1)(z + 6) - 12 = 0
Обращаем внимание, что у нас присутствуют две скобки (z + 6).
Исходя из условия, мы хотим решить уравнение на множестве комплексных чисел.
Мы знаем, что a * b = 0, когда a = 0 или b = 0.
Тогда у нас есть два варианта:
1) z³ + 4z = 0 --> z(z² + 4) = 0
Первый случай:
z = 0
Второй случай:
z² + 4 = 0
z² = -4
z = ±√(-4)
Ответ: z = 0, z = 2i, z = -2i
2) 3z + 1 = 0 --> 3z = -1 --> z = -1/3
Второй вариант для (z + 6):
z + 6 = 0 --> z = -6
Ответ: z = -1/3, z = -6
Итак, уравнение имеет четыре решения: z = 0, z = 2i, z = -2i, z = -1/3, z = -6.
Надеюсь, эта подробная и обстоятельная разборка помогла тебе понять решение этих уравнений. Если у тебя остались какие-либо вопросы, не стесняйся задать их!
1) Уравнение: z-3+2√(z-3) = 8
Для начала, проведём замену переменной: пусть u = √(z-3). Тогда у нас есть следующие соотношения:
u = √(z-3)
u² = z-3
Теперь можем переписать исходное уравнение, используя замену:
u² + 2u = 8
Перенесём все слагаемые влево и получим квадратное уравнение:
u² + 2u - 8 = 0
У нас есть квадратное уравнение вида au² + bu + c = 0, где a = 1, b = 2 и c = -8.
Чтобы решить это квадратное уравнение, можем использовать формулу дискриминанта:
D = b² - 4ac
Подставим значения a, b и c в формулу:
D = (2)² - 4(1)(-8)
D = 4 + 32
D = 36
Значение дискриминанта D равно 36.
Теперь можем использовать формулы для нахождения корней квадратного уравнения:
u₁ = (-b + √D) / 2a
u₂ = (-b - √D) / 2a
Подставим значения a, b, c и D в формулы:
u₁ = (-2 + √36) / (2*1)
u₁ = (-2 + 6) / 2
u₁ = 4 / 2
u₁ = 2
u₂ = (-2 - √36) / (2*1)
u₂ = (-2 - 6) / 2
u₂ = -8 / 2
u₂ = -4
Мы получили два значения для u: u₁ = 2 и u₂ = -4.
Однако нам нужно найти значения для z, а не для u. Для этого используем нашу замену переменной:
u = √(z-3)
Теперь можем переписать это равенство со значениями u:
2 = √(z-3)
-4 = √(z-3)
Возведём оба выражения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
(2)² = (√(z-3))²
(-4)² = (√(z-3))²
Получим:
4 = z - 3
16 = z - 3
Теперь решим каждое уравнение отдельно:
1) z - 3 = 4
z = 4 + 3
z = 7
2) z - 3 = 16
z = 16 + 3
z = 19
Ответ: уравнение имеет два решения: z = 7 и z = 19.
Теперь перейдём ко второму уравнению.
2) Уравнение: (z+1)²(z²+2z) = 12
Для начала, раскроем скобки:
z² + 2z + 1)(z² + 2z) = 12
Умножим оба множителя и приведём подобные слагаемые:
z⁴ + 4z³ + 4z² + 2z³ + 8z² + 4z = 12
Упростим это уравнение:
z⁴ + 6z³ + 12z² + 4z = 12
Перенесем все слагаемые влево и получим эти четыре слагаемых равно 0:
z⁴ + 6z³ + 12z² + 4z - 12 = 0
В данном случае, у нас нет возможности сделать замены переменной или использовать привычные методы решения через дискриминант. Мы можем попытаться факторизовать это уравнение и найти его корни.
Попробуем разложить данный полином на множители методом группировки.
Сгруппируем слагаемые в следующем порядке: первые два слагаемых и последние два слагаемых.
(z⁴ + 6z³) + (12z² + 4z - 12) = 0
Вынесем общий множитель из каждой группы:
z³(z + 6) + 4z(3z + 1) - 12 = 0
Видим, что в первой группе есть общий множитель z³, а во второй группе есть общий множитель 4z.
Вынесем эти множители за скобки:
z³(z + 6) + 4z(3z + 1) - 12 = 0
(z³ + 4z)(z + 6) + (3z + 1)(z + 6) - 12 = 0
Теперь получили две новые группы: (z³ + 4z)(z + 6) и (3z + 1)(z + 6).
У нас получилось разложение на множители:
(z³ + 4z)(z + 6) + (3z + 1)(z + 6) - 12 = 0
Обращаем внимание, что у нас присутствуют две скобки (z + 6).
Исходя из условия, мы хотим решить уравнение на множестве комплексных чисел.
Мы знаем, что a * b = 0, когда a = 0 или b = 0.
Тогда у нас есть два варианта:
1) z³ + 4z = 0 --> z(z² + 4) = 0
Первый случай:
z = 0
Второй случай:
z² + 4 = 0
z² = -4
z = ±√(-4)
Ответ: z = 0, z = 2i, z = -2i
2) 3z + 1 = 0 --> 3z = -1 --> z = -1/3
Второй вариант для (z + 6):
z + 6 = 0 --> z = -6
Ответ: z = -1/3, z = -6
Итак, уравнение имеет четыре решения: z = 0, z = 2i, z = -2i, z = -1/3, z = -6.
Надеюсь, эта подробная и обстоятельная разборка помогла тебе понять решение этих уравнений. Если у тебя остались какие-либо вопросы, не стесняйся задать их!