По известной формуле тангенс в квадрате выражается через косинус:
При следующем переходе возникают ограничения , . Если они выполнены, то можно всё домножить на знаменатели "крест накрест":
Получилось уравнение, сводящееся к квадратному относительно косинуса. Один корень угадывается - это cos x = 1, второй по теореме Виета cos x = 1/2. Дальше остаётся решить эти уравнения и учесть ограничения (фактически остается отобрать решения, удовлетворяющие неравенству tg x > 0).
Не удовлетворяют условию tg x > 0 серии решений, которые соответствуют выбору "-".
Объяснение:
Запоминаем, что tg x > 0, и возводим в квадрат:
По известной формуле тангенс в квадрате выражается через косинус:
При следующем переходе возникают ограничения
, 
. Если они выполнены, то можно всё домножить на знаменатели "крест накрест":
Получилось уравнение, сводящееся к квадратному относительно косинуса. Один корень угадывается - это cos x = 1, второй по теореме Виета cos x = 1/2. Дальше остаётся решить эти уравнения и учесть ограничения (фактически остается отобрать решения, удовлетворяющие неравенству tg x > 0).
Не удовлетворяют условию tg x > 0 серии решений, которые соответствуют выбору "-".
5cos²x-4cosx-1=0
cosx=a
5a²-4a-1=0
D=16+20=36
a1=(4-6)/10=-0,2⇒cosx=-0,2⇒x=π+_arccos0,2+2πn
a2=(4+6)/10=1⇒cosx=1⇒x=2πn
2)6-6sin²x-5sinx-7=0
6sin²x+5sinx+1=0
sinx=a
6a²+5a+1=0
D=25-24=1
a1=(-5-1)/12=-1/2⇒sinx=-1/2⇒x=(-1)^n+1*π/6+πn
a2=(-5+1)/12=-1/3⇒sinx=-1/3⇒x=(-1)^n+1*arcsin1/3+πn
3)2-2sin²x/3+3sinx/3=0
2sin²x/3-3sinx/3-2=0
sinx/3=a
2a²-3a-2=0
D=9+16=25
a1=(3-5)/4=-1/2⇒sinx/3=-1/2⇒x/3=(-1)^n+1*π/6+πn⇒x=(-1)^n+1*π/2+3πn
2-2cos²3x-5cos3x-4=0
2cos²3x+5cos3x+2=0
cos3x=a
2a²+5a+2=0
D=25-16=9
a1=(-5-3)/4=-2⇒cos3x=-2 нет решения
a2=(-5+3)/4=-1/2⇒cos3x=-1/2⇒3x=+-2π/3+2πn⇒x=+-2π/9+2πn/3