Алгебра: Решите задачу и приведите полное решение.

Решите задачу и приведите полное решение.

Показать ответ

Ответ:

vikazelenaya1

15.10.2020 15:50

x^2-x-a^3-1=0 .

Уравнение - квадратное вида ax^2 + bx + c=0 . Здесь a=1, b=-1, c=-a^3-1 .

Чтобы уравнение имело корни нужно чтобы дискриминант был неотрицательным: $D\geq 0$ .

$D=b^2-4ac=1-4(-a^3-1)=4a^3+5 \geq 0$

$4a^3\geq -5;\\\\a^3\geq -\frac{5}{4};\\\\ a\geq \sqrt[3]{\frac{-5}{4} } =-\frac{\sqrt[3]{5}\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{8}}=-\frac{\sqrt[3]{10}}{2}$

Если дискриминант равен 0 ( при $a=-\frac{\sqrt[3]{10} }{2}$ ), то уравнение имеет единственное решение $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-1}{2\cdot1}=0.5$ . Поскольку 0,5 > 0, значение параметра $a=-\frac{\sqrt[3]{10} }{2}$ пойдет в ответ.

Если дискриминант положителен (при $a-\frac{\sqrt[3]{10} }{2}$ ), то уравнение имеет 2 корня. Расписывать их необязательно.

Чтобы ровно один корень из двух был положителен необходимо и достаточно того, чтобы произведение корней было отрицательным.

Если x_1,x_2 - корни уравнения, то по теореме Виета $x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}=\frac{-a^3-1}{1}=-a^3-1$

$a^3-1\Rightarrow a-1$

Нужно учесть, что должно также выполняться условие $a-\frac{\sqrt[3]{10} }{2}$ , так как в противном случае вещественных корней уравнение иметь не будет. Промежуток $(-\frac{\sqrt[3]{10} }{2}; +\infty)$ включает в себя промежуток $(-1; +\infty)$ , поэтому все значения параметра a-1 также пойдут в ответ.