Решите задачу с уравнения Катер по течению реки 70 км и вернулся обратно, затратив на весь путь на 8 часов. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки 3 км/ч.
Тут штука такая: промежуток, на котором производная положительная - это промежуток возрастания данной функции. Промежуток, на котором производная отрицательная - это промежуток убывания. Так что делать? Ищем производную, приравниваем её к нулю и проверяем её знаки на получившихся промежутках. f'(x) = 48 -3x² 48 - 3x² = 0 3x² = 48 x² = 16 x = +-4 -∞ -4 4 +∞ - + - это знаки 48 -3x² ответ: f(x) = 48 -3x² возрастает при х∈(-4; 4) убывает при х∈(-∞;-4)∪(4;+∞)
Раскрываем: sin2x = 2*sinx*cosx.
-2cos(x-π) = -2cos(π-x) = +2cosx.
Подставляем: 2*sinx*cosx + √2*sinx = √2 + 2cosx.
В левой части вынесем за скобки sinx:
sinx(2cosx + √2) = 2cosx + √2.
Правую часть перенесём влево и вынесем её за скобки.
(2cosx + √2)(sinx - 1) = 0.
Отсюда имеем:
2cosx + √2 = 0,
cosx = -√2/2, x = 2πk +- (3π/4), k ∈ Z.
sinx - 1 = 0.
sinx = 1, x = (π/2) + 2πk, k ∈ Z.
На заданном промежутке [π; (5π/2)] есть только 2 решения:
х = (5π/4) и х = 5π/2).
f'(x) = 48 -3x²
48 - 3x² = 0
3x² = 48
x² = 16
x = +-4
-∞ -4 4 +∞
- + - это знаки 48 -3x²
ответ: f(x) = 48 -3x² возрастает при х∈(-4; 4)
убывает при х∈(-∞;-4)∪(4;+∞)