Розв'язати рівняння в натуральних числах
3x²+5xy+2y²=2005

в натуральных не получится, только в целых

x= -4009; y= 6014;

x= -2003; y=2002;

x= -797; y= 1198;

x= -391; y= 386;

x= 391; y= -386;

x= 797; y= -1198;

x= 2003; y= -2002

x= 4009; y= -6014.

Объяснение:

только в целых числах

3x²+5xy+2y²=2005;

преобразуем немного:

3x²+3xy+2xy+2y²=2005;

3x(x+y)+2y(x+y)=2005;

окончательно получаем:

(x+y)(3x+2y)=2005;  т.е. число 2005 имеет всего 2 множителя.

Найдем все множители числа 2005:

число 2005 имеет два простых множителя:

2005=5*401;

плюс тривиальный случай: 2005=1*2005.

А также если оба множителя целые отрицательные. Т.е.:

2005=-5*(-401);

2005=-1*(-2005).

Ну, вот и переберем все возможные варианты. Сначала положительные множители:

1.  x+y=5;           x=5-y;                                                x=5+386=391;

   3x+2y=401;   3(5-y)+2y=401;     15-3y+2y=401;    -y=386; y=-386;

    x=391; y= -386

2. x+y=401;  x=401-y                                         x=401-1198=-797

   3x+2y=5;  3(401-y)+2y=5;   1203-3y+2y=5; y=1203-5=1198;

    x= -797; y=1198.

3. x+y=1;  x=1-y;                                                           x=1+2002=2003;    

   3x+2y=2005;   3(1-y)+2y=2005;  3-3y+2y=2005; y=-2002;

     x=2003 ;   y=-2002.

4. x+y=2005;  x=2005-y;                                x=2005-6014=-4009                            

   3x+2y=1; 3(2005-y)+2y=1; 6015-3y+2y=1;  y=6014;

    x= -4009;  y=6014.

Теперь отрицательные множители:

1.  x+y=-5;           x=-5-y;                                                x=-5-386=-391;

   3x+2y=-401;   3(-5-y)+2y=401;     -15-3y+2y=-401;    -y=-386; y=386;

    x= -391; y= 386

2. x+y=-401;  x=-401-y                                         x=-401+1198=797

   3x+2y=-5;  3(-401-y)+2y=-5;  -1203-3y+2y=-5; y=1203-5=-1198;

    x= 797; y= -1198.

3. x+y=-1;  x=-1-y;                                                           x=-1-2002=-2003;    

   3x+2y=-2005;   3(-1-y)+2y=-2005;  -3-3y+2y=-2005; y=2002;

     x= -2003;   y=2002.

4. x+y=-2005;  x=-2005-y;                                x=-2005+6014=4009                            

   3x+2y=-1; 3(-2005-y)+2y=-1; -6015-3y+2y=-1;  y=-6014;

    x= 4009;  y= -6014.