Объяснение:
Необходимое условие представимости числа в виде суммы трех кубов:
Число представимо в виде суммы трех кубов если при делении на 9 оно не может дать остатка 4 или 5
полученное сороказначное число при делении на 9 дает остаток 5
2021202120212021202120212021202120212021/9=
=224578013356891244680023557911346690224 +5
⇒ полученное сороказначное число не представимо в виде суммы трех кубов
Примечание.
Надо попробовать как-то доказать без вычислений что остаток от деления этого сороказначного на 9 равен 5
В решении.
1) Найти целые корни уравнения:
х³ - 2х² - 5х + 6 = 0
Корни кубического уравнения находятся в делителях свободного члена (6), это: 1; -1; 2; -2; 3; -3; 6; -6.
Подставляем значение х по очереди в уравнение:
х = 1 1 - 2 - 5 + 6 = 0, корень;
х = -1 -1 - 2 + 5 + 6 ≠ 0, не корень.
х = 2 8 - 8 - 10 + 6 ≠ 0, не корень.
х = -2 -8 - 8 + 10 + 6 = 0, корень;
х = 3 27 - 18 - 15 + 6 = 0, корень;
х = -3 -27 -18 + 15 + 6 ≠ 0, не корень.
В кубическом уравнении 3 корня, дальше можно не вычислять.
Решения уравнения: х₁ = 1; х₂ = -2; х₃ = 3.
2. Симметрическое уравнение:
х⁴ - 7х³ - 6х² - 7х + 1 = 0
1) Разделить уравнение на х²:
х² - 7х - 6 - 7/х + 1/х² = 0
2) Преобразовать получившееся уравнение:
(х² + 1/х²) + (-7х - 7/х) - 6 = 0
(х² + 1/х²) - 7 (х - 1/х) - 6 = 0
3) В первых скобках подготовить выделение полного квадрата:
(х² + 2 + 1/х² - 2) - 7(х - 1/х) - 6 = 0
4) В первых скобках выделить полный квадрат:
(х² + 2 + 1/х²) - 7(х - 1/х) - 6 - 2 = 0
(х + 1/х)² - 7(х + 1/х) - 8 = 0
5) Ввести новую переменную:
(х + 1/х) = у
у² - 7у - 8 = 0
6) Решить квадратное уравнение:
D=b²-4ac =49 + 32 = 81 √D=9
у₁=(-b-√D)/2a
у₁=(7-9)/2
у₁= -2/2
у₁= -1;
у₂=(-b+√D)/2a
у₂=(7+9)/2
у₂=16/2
у₂= 8;
7) Подставить значение у₁ и у₂ в выражение х + 1/х = у;
а) х + 1/х = -1
х² + 1 = -х
х² + х + 1 = 0, квадратное уравнение, ищем корни:
D=b²-4ac = 1 - 4 = -3
D < 0, нет решения.
б) х + 1/х = 8
х² + 1 = 8х
х² - 8х + 1 = 0, квадратное уравнение, ищем корни:
D=b²-4ac = 64 - 4 = 60 √D=√4*15 = 2√15
х₁=(-b-√D)/2a
х₁=(8-2√15)/2
х₁=4-2√15;
х₂=(-b+√D)/2a
х₂=(8+2√15)/2
х₂=4+√15.
Решения уравнения: х₁=4-2√15; х₂=4+√15.
Объяснение:
Необходимое условие представимости числа в виде суммы трех кубов:
Число представимо в виде суммы трех кубов если при делении на 9 оно не может дать остатка 4 или 5
полученное сороказначное число при делении на 9 дает остаток 5
2021202120212021202120212021202120212021/9=
=224578013356891244680023557911346690224 +5
⇒ полученное сороказначное число не представимо в виде суммы трех кубов
Примечание.
Надо попробовать как-то доказать без вычислений что остаток от деления этого сороказначного на 9 равен 5
В решении.
Объяснение:
1) Найти целые корни уравнения:
х³ - 2х² - 5х + 6 = 0
Корни кубического уравнения находятся в делителях свободного члена (6), это: 1; -1; 2; -2; 3; -3; 6; -6.
Подставляем значение х по очереди в уравнение:
х = 1 1 - 2 - 5 + 6 = 0, корень;
х = -1 -1 - 2 + 5 + 6 ≠ 0, не корень.
х = 2 8 - 8 - 10 + 6 ≠ 0, не корень.
х = -2 -8 - 8 + 10 + 6 = 0, корень;
х = 3 27 - 18 - 15 + 6 = 0, корень;
х = -3 -27 -18 + 15 + 6 ≠ 0, не корень.
В кубическом уравнении 3 корня, дальше можно не вычислять.
Решения уравнения: х₁ = 1; х₂ = -2; х₃ = 3.
2. Симметрическое уравнение:
х⁴ - 7х³ - 6х² - 7х + 1 = 0
1) Разделить уравнение на х²:
х² - 7х - 6 - 7/х + 1/х² = 0
2) Преобразовать получившееся уравнение:
(х² + 1/х²) + (-7х - 7/х) - 6 = 0
(х² + 1/х²) - 7 (х - 1/х) - 6 = 0
3) В первых скобках подготовить выделение полного квадрата:
(х² + 2 + 1/х² - 2) - 7(х - 1/х) - 6 = 0
4) В первых скобках выделить полный квадрат:
(х² + 2 + 1/х²) - 7(х - 1/х) - 6 - 2 = 0
(х + 1/х)² - 7(х + 1/х) - 8 = 0
5) Ввести новую переменную:
(х + 1/х) = у
у² - 7у - 8 = 0
6) Решить квадратное уравнение:
у² - 7у - 8 = 0
D=b²-4ac =49 + 32 = 81 √D=9
у₁=(-b-√D)/2a
у₁=(7-9)/2
у₁= -2/2
у₁= -1;
у₂=(-b+√D)/2a
у₂=(7+9)/2
у₂=16/2
у₂= 8;
7) Подставить значение у₁ и у₂ в выражение х + 1/х = у;
а) х + 1/х = -1
х² + 1 = -х
х² + х + 1 = 0, квадратное уравнение, ищем корни:
D=b²-4ac = 1 - 4 = -3
D < 0, нет решения.
б) х + 1/х = 8
х² + 1 = 8х
х² - 8х + 1 = 0, квадратное уравнение, ищем корни:
D=b²-4ac = 64 - 4 = 60 √D=√4*15 = 2√15
х₁=(-b-√D)/2a
х₁=(8-2√15)/2
х₁=4-2√15;
х₂=(-b+√D)/2a
х₂=(8+2√15)/2
х₂=4+√15.
Решения уравнения: х₁=4-2√15; х₂=4+√15.