Розв'яжіть у натуральних числах (m,n) рівняння mn^2=2009(n+1)​

Сумма последовательных натуральных чисел, начиная с первого = 55 и вычисляется по формуле (n² + n) : 2
(n² + n) : 2 = 55

n² + n - 100 = 0
а = 1;  b = 1; c = -100
D = b² - 4ac = 1² - 4 * 1 * (-100) = 1 + 400 = 441

x1 = - b  + √D    =   1 - √441    =    1 -  21   = 10  последовательных натуральных чисел, 
             2a                   2 * 1                  2    начиная с 1, надо сложить, чтобы в сумме получить 55
при n = 10  (n² + n) : 2 = (10² + 10) : 2  = 55

x2 = - b  - √D    =  1 + √441    =    1 +  21   = 11  - лишний корень
             2a                   2 * 1               2

Task/4714142
---.---.---.---.---.---
Могут ли составлять арифметическую прогрессию:
а) длины сторон и периметр треугольника ;
б) длины сторон прямоугольного треугольника? 

a)  
 допустим, что  b₁, b₂ , b₃ ; p  , где    b₁, b₂ , b₃  стороны  треугольника , a p периметр этого треугольника члены  арифметической прогрессии   , т.е.
b₁=b ; b₂=b+d ; b₃=b +2d  ;  p= b +3d  
но p = b₁+b₂+b₃=b+(b+d)+(b +2d)=3b +3d
должна  выполняться   b +3d = 3b +3d   ⇒ b =0  Значит НЕ МОГУТ

б)
 b₁=b ; b₂=b+d ; b₃=b +2d       || d > 0||
должна  выполняться : 
1) неравенство треугольника : b+b+d  > b+2d ⇒  b > d 
2) Δ прямоугольник : b²+(b+d)²  = (b +2d)² ;
b² +b² +2bd +d² = b² +4bd +4d² ; 
b² -2d*b -3d² =0 ;   * * * D =(2d)² - 4*1*(-3d²)  =(4d)²  * * * 
b = -d ( не удовлетворяет)  
b =3d .  Значит  МОГУТ    3d ;   4d ;  5d          d > 0     
d =1/3 ⇒ 1 ; 4/3 ; 5 /3
например целочисленные(Пифагорова тройка) :
d =1 ⇒3 ; 4 ; 5  (база)
d =2⇒ 6 , 8 ,10  
d =3 ⇒9 ;12 ; 15 
и т.д.