Для начала, построим график функции y=x^4-25x^2+144/(x+3)(x-4).
1. Найдем точки разрыва функции, то есть значения x, при которых знаменатель равен нулю. Из уравнения (x+3)(x-4)=0 получаем две точки разрыва: x=-3 и x=4.
2. Установим поведение функции в окрестности точек разрыва. Для этого рассмотрим знаки множителей (x+3) и (x-4) в интервалах между точками разрыва и за их пределами.
2.1. В интервале (-∞,-3) оба множителя отрицательны, поэтому функция будет положительной.
2.2. В интервале (-3,4) множитель (x+3) положителен, а (x-4) отрицателен. Таким образом, функция будет отрицательной.
2.3. В интервале (4,+∞) оба множителя положительны, поэтому функция снова будет положительной.
3. Теперь найдем точки, в которых функция обращается в ноль. Для этого приравняем выражение y=x^4-25x^2+144/(x+3)(x-4) к нулю:
x^4-25x^2+144/(x+3)(x-4) = 0.
4. Решим полученное уравнение. Для этого умножим обе части на (x+3)(x-4) и перепишем его в виде:
x^4-25x^2+144=0.
5. Заметим, что данное уравнение является квадратным по отношению к переменной x^2. Проведем замену переменной, обозначив x^2 = t. Получим:
t^2 - 25t + 144 = 0.
6. Решим полученное квадратное уравнение относительно t, используя формулу дискриминанта:
11. Таким образом, у нас имеется одна общая точка с графиком функции y=x^4-25x^2+144/(x+3)(x-4) для любого значения параметра a при условии, что a=-144.
Ответ: Для прямой y=a, где a=-144, с графиком функции y=x^4-25x^2+144/(x+3)(x-4) имеется ровно одна общая точка.
1. Найдем точки разрыва функции, то есть значения x, при которых знаменатель равен нулю. Из уравнения (x+3)(x-4)=0 получаем две точки разрыва: x=-3 и x=4.
2. Установим поведение функции в окрестности точек разрыва. Для этого рассмотрим знаки множителей (x+3) и (x-4) в интервалах между точками разрыва и за их пределами.
2.1. В интервале (-∞,-3) оба множителя отрицательны, поэтому функция будет положительной.
2.2. В интервале (-3,4) множитель (x+3) положителен, а (x-4) отрицателен. Таким образом, функция будет отрицательной.
2.3. В интервале (4,+∞) оба множителя положительны, поэтому функция снова будет положительной.
3. Теперь найдем точки, в которых функция обращается в ноль. Для этого приравняем выражение y=x^4-25x^2+144/(x+3)(x-4) к нулю:
x^4-25x^2+144/(x+3)(x-4) = 0.
4. Решим полученное уравнение. Для этого умножим обе части на (x+3)(x-4) и перепишем его в виде:
x^4-25x^2+144=0.
5. Заметим, что данное уравнение является квадратным по отношению к переменной x^2. Проведем замену переменной, обозначив x^2 = t. Получим:
t^2 - 25t + 144 = 0.
6. Решим полученное квадратное уравнение относительно t, используя формулу дискриминанта:
D = b^2 - 4ac = (-25)^2 - 4*1*144 = 625 - 576 = 49.
7. Поскольку дискриминант положительный, имеем два корня квадратного уравнения:
t1 = (25 + √D)/2 = (25 + 7)/2 = 16,
t2 = (25 - √D)/2 = (25 - 7)/2 = 9.
8. Возвращаемся к переменной x^2:
x^2 = 16, x^2 = 9.
9. Извлекаем квадратный корень и получаем значения x:
x1 = √16 = 4, x2 = -√16 = -4,
x3 = √9 = 3, x4 = -√9 = -3.
10. Получили 4 корня: x1=4, x2=-4, x3=3, x4=-3. Подставим их в исходное уравнение, чтобы найти соответствующие значения y:
y1 = 4^4-25*4^2+144/(4+3)(4-4) = 256 - 400 + 144/(7-0)(4-4) = -144,
y2 = (-4)^4-25*(-4)^2+144/((-4)+3)(-4-4) = 256 - 400 + 144/(-1)(-8) = -144,
y3 = 3^4-25*3^2+144/(3+3)(3-4) = 81 - 225 + 144/(6-0)(3-4) = -144,
y4 = (-3)^4-25*(-3)^2+144/((-3)+3)((-3)-4) = 81 - 225 + 144/(0)(-7) = -144.
11. Таким образом, у нас имеется одна общая точка с графиком функции y=x^4-25x^2+144/(x+3)(x-4) для любого значения параметра a при условии, что a=-144.
Ответ: Для прямой y=a, где a=-144, с графиком функции y=x^4-25x^2+144/(x+3)(x-4) имеется ровно одна общая точка.
Итак, у нас есть выражение:
(4x^2 - 12xy + 9y^2) / (4x^2 - 9y^2)
Мы должны найти значение этого выражения при условии, что x/y = 1.
Чтобы найти это значение, мы будем подставлять x = y вместо x в выражении и вычислять его.
Давайте начнем с подстановки x = y:
(4(y)^2 - 12(y)(y) + 9(y)^2) / (4(y)^2 - 9(y)^2)
Теперь упрощаем числитель и знаменатель:
(4y^2 - 12y^2 + 9y^2) / (4y^2 - 9y^2)
(-3y^2) / (-5y^2)
Наши выражения (-3y^2) и (-5y^2) делятся на y^2:
-3 / -5
Таким образом, значение выражения 4x^2-12xy+9y^2 / 4x^2-9y^2 при x/y=1 равно 3/5.
Данный ответ может быть представлен в виде обыкновенной дроби или десятичной дроби, в зависимости от требований задачи.