Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном промежутке: a) y = (2x + 50)/(x - 1), [1;10] Это гипербола у = 52/(х - 1) + 2 с точкой разрыва х = 1. Максимума функция не имеет, в том числе и на заданном промежутке. Минимум на заданном промежутке при х = 10, у = 70/9.
б) y=8 - 5x, [-1;1]. Это прямая, функция убывающая. Максимум на заданном промежутке при х = -1, у = 8+5=13. Минимум на заданном промежутке при х = 1, у = 8-5 = 3.
в) y=3 - cos x, [пи/3; 3пи/2]. При х = π cos = -1, тогда у = 3 + 1 = 4. Это максимум. Минимум равен 5/2 при х = π/3.
г)y=12 + x^2 - x^3/3, (-∞; 1] Производная y' = -x²+2x = -x(x - 2). Приравняв нулю, имеем 2 критические точки х = 0 и х = 2. У функции есть локальный максимум при х = 2 у = 40/3, минимум при х = 0. у = 12. Глобальных минимума и максимума нет.
№2.
Представьте число 9 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма удвоенного первого слагаемого и квадрата второго слагаемого была наименьшей. у = 2х + (9-х)² = 2x + 81 - 18x + x² = x² - 16x + 81. y' = 2x - 16 = 2(x -8). Приравняем производную нулю: 2(x -8) = 0, х = 8. Проверяем: 2*8 + 1 = 17. х = 5 у = 2*5 + 9 = 19. Значит, первое слагаемое 1, а второе 8. у = 2 + 64 = 66. Проверим х = 2, у = 4 + 49 = 53 правильно.
№3.
Садовод на своём дачном участке решил огородить прямоугольную клумбу заборчиком длиной 12 м. Каковы должны быть размеры клумбы, чтобы её площадь была наибольшей? Максимум площади при заданном периметре - у квадрата. S = (12/4)² = 9 м².
Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном промежутке:
a) y = (2x + 50)/(x - 1), [1;10]
Это гипербола у = 52/(х - 1) + 2 с точкой разрыва х = 1.
Максимума функция не имеет, в том числе и на заданном промежутке.
Минимум на заданном промежутке при х = 10, у = 70/9.
б) y=8 - 5x, [-1;1]. Это прямая, функция убывающая.
Максимум на заданном промежутке при х = -1, у = 8+5=13.
Минимум на заданном промежутке при х = 1, у = 8-5 = 3.
в) y=3 - cos x, [пи/3; 3пи/2].
При х = π cos = -1, тогда у = 3 + 1 = 4. Это максимум.
Минимум равен 5/2 при х = π/3.
г)y=12 + x^2 - x^3/3, (-∞; 1]
Производная y' = -x²+2x = -x(x - 2).
Приравняв нулю, имеем 2 критические точки х = 0 и х = 2.
У функции есть локальный максимум при х = 2 у = 40/3,
минимум при х = 0. у = 12.
Глобальных минимума и максимума нет.
№2.
Представьте число 9 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма удвоенного первого слагаемого и квадрата второго слагаемого была наименьшей.
у = 2х + (9-х)² = 2x + 81 - 18x + x² = x² - 16x + 81.
y' = 2x - 16 = 2(x -8).
Приравняем производную нулю: 2(x -8) = 0, х = 8.
Проверяем: 2*8 + 1 = 17.
х = 5 у = 2*5 + 9 = 19.
Значит, первое слагаемое 1, а второе 8.
у = 2 + 64 = 66.
Проверим х = 2, у = 4 + 49 = 53 правильно.
№3.
Садовод на своём дачном участке решил огородить прямоугольную клумбу заборчиком длиной 12 м. Каковы должны быть размеры клумбы, чтобы её площадь была наибольшей?
Максимум площади при заданном периметре - у квадрата.
S = (12/4)² = 9 м².
5²¹ * 5 ⁻²³= 5²¹⁺⁽⁻²³⁾ = 5⁻² = 1/5² = 1/25 = 0.04
3⁻⁸ / 3⁻⁹ = 3⁻⁸⁻⁽⁻⁹⁾ = 3⁻⁸⁺⁹ = 3¹ = 3
(2²)⁻³ = 2²*⁽⁻³⁾ = 2⁻⁶ = 1/2⁶ = 1/64
2.
(a⁻³)⁵ * a¹⁸ = a⁻³*⁵ ⁺¹⁸ = a⁻¹⁵⁺¹⁸ = a³
2.4x⁻⁸y⁵ * 5x⁹y⁻⁷ = (2.4 * 5) * x⁻⁸⁺⁹ *y⁵⁺⁽⁻⁷⁾ = 12x¹ y⁻² = 12xy⁻²
3.
(1/4 * x⁻²y⁻³) ⁻² = (2⁻² x⁻²y⁻³)⁻² = 2⁴x⁴y⁶ = 16x⁴y⁶
(5x⁻¹ /3y⁻²) * 15x³y = (5* x⁻¹ * (3 * 5 ) * x³ *y¹ ) / (3y⁻²) =
= (5² * 3¹ * x⁻¹⁺³ y¹)/(3¹*y⁻²) = 5² * 3¹⁻¹ *x² * y¹⁻⁽⁻²⁾ = 25x²y³
4.
(4 ⁻⁶ * 16)/(64⁻⁵) = (4⁻⁶ * 4²) / (4³)⁻⁵ = 4⁻⁶⁺²⁻⁽⁻¹⁵⁾ = 4⁻⁴⁺¹⁵ = 4¹¹
5.
(2.5 * 10⁷) * (6.2 * 10⁻¹⁰) = (2.5*6.2) * 10⁷⁺⁽⁻¹⁰⁾ = 15.5 * 10⁻³
6.
(x ⁻¹ - y )(x - y ⁻¹)⁻¹ = (1/x - y )(x - 1/y) ⁻¹ =
= ( (1-xy)/x ) * ( (xy - 1)/y ) ⁻¹ =
= (1-xy)/x * y/(xy - 1) =
= (1 - xy)/x * ( - y/(1 -xy) ) =
= - y/x = - yx⁻¹
Думаю, достаточно...