Розвяжить графічно систему рівнянь :

Чтобы сравнить числовые выражения (√6 + √10) и (3 + √7), возведем оба выражения в квадрат.

(√6 + √10)^2 = (√6)^2 + 2√6√10 + (√10)^2 = 6 + 2√60 + 10 = 16 + 4√15;

(3 + √7)^2 = 3^2 + 2 * 3√7 + (√7)^2 = 9 + 6√7 + 7 = 16 + 6√7.

В выражениях 16 + 4√15 и 16 + 6√7 первые слагаемые равны, поэтому надо сравнить вторые слагаемые. Возведем их во вторую степень.

(4√15)^2 = 16 * 15 = 240;

(6√7)^2 = 36 * 7 = 252.

240 < 252, значит 4√15 < 6√7, поэтому (16 + 4√15) < (16 + 6√7), следовательно (√6 + √10) < (3 + √7).

1.
3cos²7x+sin7x-1=0 ;
3(1-sin²7x)+sin7x -1=0 ;
3sin²7x -sin7x-2 =0 ; * * * замена  t = sin7x  * * *
3t² -t -2 =0 ;   * * * D =1²-4*3*(-2) =5²
t₁=(1-5)/(2*3) =-2/3 ;
t₂=(1+5)/(2*3) =1.
а)
sin7x = -2/3 ⇒7x =(-1)^(n+1) arcsin(2/3) +πn ;
   x =(1/7)*(-1)^(n+1) arcsin(2/3) +πn/7, n∈Z.
б)
sin7x =1⇒7x =π/2 +2πn , n∈Z 
   x =π/14 +2πn/7, n∈Z .

2)
8-6cos²5x+7sin5x=0 ;
8 -6(1-sin²5x+7sin5x=0 ;
6sin²5x+7sin5x +2 =0 
[ sin5x= -2/3  ; sin5x = -1/2.
а)
sin5x = -2/3 ⇒5x =(-1)^(n+1) arcsin(2/3) +πn ,n∈Z ;
   x =(1/5)*(-1)^(n+1) arcsin(2/3) +πn/7, n∈Z.
б) 
sin5x = -1/2  ⇒5x =(-1)^(n+1)*(π/6) +πn ,n∈Z
  x =(-1)^(n+1)*(π/30) +πn/5 ,n∈Z.

3)
5sin2x+9cos2x=0 ;
10sinx*cosx +9(cos²x -sin²x) =0 ;
9sin²x -10sinx*cosx -9cos²x =0 ;  || \cos²x ≠0 
9tq²x -10tqx -9 =0 ;  * * *замена t = tqx * * *
9t² -10t -9 =0  ;* * * D/4 =5² -9*(-9)= 106  * * *
[ tqx =(5-√106)/9 ;  tqx  =(5+√106)/9 .
 x =arctq(5-√106)/9 +πn ,n∈Z  или  x =arctq(5+√106)/9 +πn ,n∈Z .