С.11 класс по теме формулы ньютона-лейбница
1 и 2

Меньшая шестеренка делает (х) оборотов в минуту
другая шестеренка делает (х+90) оборотов в минуту
меньшая шестеренка:
х оборотов --- 60 секунд
9 оборотов --- ? секунд
? = 9*60/х (она медленнее крутится, это время больше)))
другая шестеренка:
(х+90) оборотов --- 60 секунд
9 оборотов --- ? секунд
? = 9*60/(х+90)
(9*60/х) - 9*60/(х+90) = 1
9*60*90/(х*(х+90)) = 1
х² + 90х - 9*60*90 = 1
D = 90*90 + 4*9*60*90 = 90*90*(1+24) = 450²
x(1;2) = (-90+-450)/2
x = 225 - 45 = 180 (об/мин) ---меньшая шестеренка
180+90 = 270 об/мин ---другая шестеренка
ПРОВЕРКА:
180 оборотов в минуту --- 3 оборота в секунду --- 9 оборотов за 3 секунды
270 оборотов в минуту --- 4.5 оборота в секунду --- 9 оборотов за 2 секунды

1) sin²x-16sinx-17=0
назначим  sinx=t
t²-16t-17=0
D=16²+4*17=256+68=324=18²
t(1)=(16+18)/2=17    ⇒sinx=17  ⇒ x=arcsin17+2πK
t(2)=(16-18)/2=-1      ⇒sinx=-1   ⇒  x=-π/2+2πk            k∈Z

2) sin²x+31cosx+101=0
1-cos²x+31cosx+101=0
cos²x-31cosx-102=0
назначим   cosx=t
t²-31t-102=0
D=31²+4*102=961+408=1369=37²
t(1)=(31+37)/2=68/2=34   ⇒ cosx=34   ⇒  x=arccos34
t(2)=(31-37)/2=-6/2=-3   ⇒  cosx=-34   ⇒  x=arccos(-34)=arccos34

3) sinx+23cosx=0 
уравнения делим на sinx 
получается
sinx/sinx+23cosx/sinx=0
1+23ctgx=0
23ctgx=-1
ctgx=-1/23
x=arcctg(-1/23)=-arcctg1/23