|x-1|+|x-2| > 3+x Чтобы решить неравенство, необходимо раскрыть модули. Приравняем каждое подмодульное выражение к нулю и найдем точки,в которых подмодульные выражения меняют знак: x-1=0; x=1 x-2=0; x=2 Нанесем эти значения х на числовую прямую:
[1][2] Мы получили три промежутка. Найдем знаки каждого подмодульного выражения на каждом промежутке:
[1][2] x-1 - + + x-2 - - +
Раскроем модули на каждом промежутке ( мы можем граничные точки 1 и 2 включать в оба промежутка): a) x<=1 На этом промежутке оба подмодульных выражения отрицательны, поэтому мы раскрываем модули с противоположным знаком: -(x-1)-(x-2) >3+x С учетом того, что x<=1, составим систему неравенств: {-(x-1)-(x-2)>3+x {x<=1 Решаем 1-е неравенство: -x+1-x+2-x>3 -3x>3-1-2 -3x>0 x<0 Получаем: {x<0 {x<=1 Решением этой системы является промежуток x<0
б) 1<=x<=2 На этом промежутке первое подмодульное выражение положительно, а второе - отрицательно, поэтому первый модуль мы раскрываем с тем же знаком, а второй - с противоположным: (x-1)-(x-2)>3+x С учетом того,что 1<=x<=2, составим систему неравенств: {(x-1)-(x-2)>3+x [1<=x<=2 Решим 1-е неравенство: x-1-x+2>3+x -x>1-2+3 -x>2 x<2 Получаем: {1<=x<=2 {x<2 Система не имеет решений в) x>=2 На этом промежутке оба подмодульных выражения положительны.Поэтому мы их раскроем без смены знака: (x-1)+(x-2)>3+x С учетом того, что x>=2, составим систему: {(x-1)+(x-2)>3+x [x>=2 Решим 1-е неравенство: x-1+x-2-x>3 x>3+1+2 x>6 Получаем: {x>=2 {x>6 Решением этой системы является промежуток: (6;+ беск.) Объединим два промежутка и получим ответ: x<0; x>6
1) (a+b)² (a-b) - 2ab(b-a) - 6ab(a-b) =(a -b)³ .
(a+b)² (a-b) - 2ab(b-a) - 6ab(a-b) =(a-b)( ( a+b)² +2ab - 6ab ) =
(a-b)(a² +2ab +b² +2ab -6ab) =(a-b)(a² -2ab +b² ) =(a-b)(a -b)² =(a -b)³ .
---
2) (a² +b²)(a⁴ - a²b² +b⁴) +(a³ -b³)(a³ +b³ ) =2a⁶.
(a² +b²)(a⁴ - a²b² +b⁴) +(a³ -b³)(a³ +b³ ) = (a²)³ +(b²)³ +(a³)² -(b³)² =
(a²)³ +(b²)³ +(a³)² - (b³)² =a⁶ +b⁶ + a⁶ - b⁶ =2a⁶.
---
3) (a²+b²)(c²+d²)= (ac+bd)²+(ad-bc)² .
(a²+b²)(c²+d²) =a²c² +a²d² + b²c² + b²d² =
(a²c² +2*ac*bd+ b²d²) +(a²d² - 2*ad*bc+ b²c² ) = (ac+bd)²+(ad-bc)² .
---
4) (a²+cb²)(d²+ce²) = (ad+cbe)²+c(ae - bd)² .
(a²+cb²)(d²+ce²) =a²d² +a²ce² + cb²d² +c²b²e² =(a²d² +c²b²e²) +c(a²e² + b²d²) =
(a²d² + 2*ad*cbe+c²b²e²) +c(a²e² - 2ae*bd+ b²d²) = (ad+cbe)²+c(ae - bd)².
Чтобы решить неравенство, необходимо раскрыть модули.
Приравняем каждое подмодульное выражение к нулю и найдем точки,в которых подмодульные выражения меняют знак:
x-1=0; x=1
x-2=0; x=2
Нанесем эти значения х на числовую прямую:
[1][2]
Мы получили три промежутка. Найдем знаки каждого подмодульного выражения на каждом промежутке:
[1][2]
x-1 - + +
x-2 - - +
Раскроем модули на каждом промежутке ( мы можем граничные точки 1 и 2 включать в оба промежутка):
a) x<=1
На этом промежутке оба подмодульных выражения отрицательны, поэтому мы раскрываем модули с противоположным знаком:
-(x-1)-(x-2) >3+x
С учетом того, что x<=1, составим систему неравенств:
{-(x-1)-(x-2)>3+x
{x<=1
Решаем 1-е неравенство:
-x+1-x+2-x>3
-3x>3-1-2
-3x>0
x<0
Получаем:
{x<0
{x<=1
Решением этой системы является промежуток x<0
б) 1<=x<=2
На этом промежутке первое подмодульное выражение положительно, а второе - отрицательно, поэтому первый модуль мы раскрываем с тем же знаком, а второй - с противоположным:
(x-1)-(x-2)>3+x
С учетом того,что 1<=x<=2, составим систему неравенств:
{(x-1)-(x-2)>3+x
[1<=x<=2
Решим 1-е неравенство:
x-1-x+2>3+x
-x>1-2+3
-x>2
x<2
Получаем:
{1<=x<=2
{x<2
Система не имеет решений
в) x>=2
На этом промежутке оба подмодульных выражения положительны.Поэтому мы их раскроем без смены знака:
(x-1)+(x-2)>3+x
С учетом того, что x>=2, составим систему:
{(x-1)+(x-2)>3+x
[x>=2
Решим 1-е неравенство:
x-1+x-2-x>3
x>3+1+2
x>6
Получаем:
{x>=2
{x>6
Решением этой системы является промежуток: (6;+ беск.)
Объединим два промежутка и получим ответ: x<0; x>6