с алгеброй! Метод мат. индукции и прогрессия.

Первое задание смотрите в комментарии.                                                    Не хочу нагромождать решение.

Необходимо найти следующую сумму:

S= 1^2/1*3 + 2^2/3*5 + 2^3/5*7+...+(n-1)^2/(2(n-1) -1)(2(n-1) + 1) + n^2/(2n-1)(2n+1)

Преобразуем выражение:

k^2/(2k-1)(2k+1) = 1/8 * ( 2k/(2k-1) + 2k/(2k+1) ) = 1/8 * ( 1 + 1/(2k-1) + 1 - 1/(2k+1) ) = 1/4 + 1/8( 1/(2k-1) - 1/(2k+1) )

Как видим, данную сумму можно представить так:

S = n/4 + 1/8 * (1/1 - 1/3 + 1/3 - 1/5 + 1/5 - 1/7 +...+ 1/(2n-3) - 1/(2n-1) + 1/(2n-1) --1/(2n+1) )

Как видим, все в скобках уничтожится, помимо:   1 - 1/(2n+1)

Откуда сумма ряда:

S = n/4 + 1/8 * (  1 - 1/(2n+1) ) = n/4 + 1/8 * (2n/(2n+1) ) = n/4 * ( 1 + 1/(2n+1) ) =

= n/4 * ( (2n+2)/(2n+1) = n(n+1)/( 2(2n+1) )

1^2/1*3 + 2^2/3*5 + 2^3/5*7+...+(n-1)^2/(2(n-1) -1)(2(n-1) + 1) + n^2/(2n-1)(2n+1) =

=  n(n+1)/( 2(2n+1) )

Докажем теперь это методом математической индукции:

Проверим тождество для n = 1

1^2/1*3 = 1*2/( 2* 3)

1/3 = 1/3 - верно.

Предположим, что тождество справедливо при n = t:

1^2/1*3 + 2^2/3*5 + 2^3/5*7+...+ t^2/(2t-1)(2t+1) =  t(t+1)/( 2(2t+1) )

Докажем его справедливость для n = t + 1, то есть необходимо доказать, что:

1^2/1*3 + 2^2/3*5 + 2^3/5*7+...+ t^2/(2t-1)(2t+1) + (t+1)^2/(2(t+1) -1)(2(t+1) +1) =      (t+1)(t+2)/( 2(2(t+1)+1) ) = (t+1)(t+2)/(2*(2t+3) )

Доказываем:

1^2/1*3 + 2^2/3*5 + 2^3/5*7+...+ t^2/(2t-1)(2t+1) + (t+1)^2/(2(t+1) -1)(2(t+1) +1) =

= t(t+1)/( 2(2t+1) ) + (t+1)^2/(2(t+1) -1)(2(t+1) +1) =

= t(t+1)/( 2(2t+1) ) + (t+1)^2/(2t+1)(2t+3) = 1/2 * (t+1)/(2t+1) * ( t+ (2t+2)/(2t+3) ) =

=1/2 * (t+1)/(2t+1) * ( t + 1 - 1/(2t+3) ) = 1/2 * (t+1)/(2t+1) * ( 2t^2+3t +2t + 3 -1)/(2t+3) = (t+1)(2t^2+5t+2)/(2*(2t+1)(2t+3) ) = (t+1)(t+2)(2t+1)/(2*(2t+1)(2t+3) ) =

= (t+1)(t+2)/(2*(2t+3) ) - верно.

Таким образом, из принципа математической индукции данное тождество доказано.