С объяснениями и решениями. Номер 27.8, 27.9, 27.10, 27.11

Task/24842226
---.---.---.---.---
Решить неравенство x^2-8x-3/(|x-4|)+18=<(меньше равно)0
--------------------------
(x² -8x -3) / (|x-4|)  + 18 ≤0 ;
( (x -4)² -19) / (|x-4|) +18 ≤0 ;
( |x -4|² -19) / (|x-4|) +18 ≤0 ;      * * *   y²  = |y|²  ; (x -4)²  =| x-4|²  * * *
( |x -4|² -19 +18|x-4| ) / (|x-4|) ≤0 ;
( |x -4|² +18|x-4| -19 ) / (|x-4|) ≤0 ;
( |x -4| +19) *(|x-4| -1) / (|x-4|) ≤0 ;  * * * |x -4|² +19 ≥19 >0 * * *
(|x-4| -1) / (|x-4|) ≤ 0 
{ |x-4| -1  ≤ 0  ; x ≠4 .⇔ { |x-4|  ≤ 1  ; x ≠4.⇔{ -1 ≤  x-4  ≤ 1  ; x ≠4 .⇔
{ -1+4  ≤ x  ≤ 1+4  ; x ≠4 . ⇔{ 3  ≤ x  ≤ 5  ; x ≠4 .⇒

ответ : x∈ [ 3; 4) ∪(4 ;5].   

1) arccos(x) = a - это такое а, что cos a = x. Тоже самое про arctg(x).
arccos(-√3/2) + arctg(√3) = 5pi/6 + pi/3 = 5pi/6 + 2pi/6 = 7pi/6

2) cos(4x - pi/6) = 1
4x - pi/6 = 2pi*k
x = pi/24 + pi/2*k

3) x - 2 = √(3x - 2)
Область определения: 3x - 2 >= 0; x >= 2/3.
Но корень арифметический, то есть неотрицательный, поэтому
x - 2 >= 0; x >= 2 - это ОДЗ.
Возводим все в квадрат.
(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4 = 3x - 2
x^2 - 7x + 6 = 0
(x - 1)(x - 6) = 0
x = 1 < 2 - не подходит.
x = 6 > 2 - подходит.
ответ: 6

4) √(8 - x) = 2 - x
Область определения: 8 - x >= 0; x <= 8.
Но корень арифметический, поэтому 2 - x >= 0; x <= 2 - это ОДЗ.
Возводим все в квадрат.
8 - x = (2 - x)^2 = x^2 - 4x + 4
x^2 - 3x - 4 = 0
(x + 1)(x - 4) = 0
x1 = -1 < 2 - подходит.
x2 = 4 > 2 - не подходит.
ответ: -1