Представим выражение в виде |y| + |y - 3x| + |y - (1 - x)|. Геометрический смысл модуля: |a - b| — расстояние между точками a и b на числовой прямой.
Пусть x — такой, при котором достигается минимум. Обозначим x1 <= x2 <= x3 — значения 0, 3x, 1 - x в порядке возрастания. Необходимо найти такой y, что сумма расстояний до трёх точек x1, x2, x3 минимальна. Я утверждаю, что минимум будет достигнут, если y = x2.
Действительно, пусть y > x3 >= x2. Сдвинем точку немного влево. Все расстояния уменьшатся, тогда сумма тоже уменьшится. Продолжаем двигать, пока y не сравняется с x3.
Если x3 >= y > x2, тоже сдвинем точку немного левее. Сумма расстояний до точек x2 и x3 постоянна и равна x3 - x2, а расстояние до x1 уменьшится. Продолжаем двигать, пока y не сравняется с x2.
Рассуждая точно так же о движении справа от x2, получаем, что в точке x2 достигается минимум, причём этот минимум равен x3 - x1.
Итак, нам удалось избавиться от y. Нужно решать такую задачу: Найти минимум выражения f(x) = max(0, 3x, 1 - x) - min(0, 3x, 1 - x).
Перебираем случаи.
1) 3x — максимум. Тогда 3x >= 0, 3x >= 1 - x. Первое неравенство: x >= 0 Второе неравенство: 4x >= 1; x >= 1/4. Итог: так будет при x >= 1/4. а) 0 — минимум. 0 <= 1 - x, x <= 1. Так будет при x из отрезка [1/4, 1]. f(x) = 3x - 0 = 3x — возрастающая функция, минимум достигается в левом конце отрезка. min = f(1/4) = 3 * 1/4 = 3/4 б) 1 - x — минимум. Так будет при x >= 1. f(x) = 3x - (1 - x) = 4x - 1 — возрастает, минимум достигается в x = 1, min = f(1) = 3.
2) 1 - x — максимум. (1 - x >= 3x, 1 - x >= 0. Тогда x <= 1/4) а) 0 — минимум (0 <= 3x, всё это выполнено, если x в отрезке [0, 1/4]) f(x) = 1 - x - 0 = 1 - x — убывающая функция, минимум в правом конце отрезка. min = f(1/4) = 1 - 1/4 = 3/4. б) 3x — минимум (x <= 0). f(x) = 1 - x - 3x = 1 - 4x — убывающая функция, минимум в правом конце отрезка. min = f(0) = 1.
3) 0 — максимум. Ничего интересного не будет, два случая выше уже покрыли все возможные x.
Находим производную функции у=4х³+8х²−15х+15. y' = 12x²+16x-15. Производная функции y' существует при любом x. Приравниваем нулю и находим критические точки. 12x²+16x-15 = 0. Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант: D=16^2-4*12*(-15)=256-4*12*(-15)=256-48*(-15)=256-(-48*15)=256-(-720)=256+720=976;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня: x₁=(√976-16)/(2*12)=(√976-16)/24=√976/24-16/24=4√61/24-(2/3) = √61/6-(2/3) ≈ 0,635042; x₂=(-√976-16)/(2*12)=(-√976-16)/24=-√976/24-16/24=-4√61/24-(2/3) = -√61/6-(2/3) ≈ -1,968375.Получили 2 критические точки: x₁ = √61/6-(2/3) ≈ 0,635042; x₂ = -√61/6-(2/3) ≈ -1,968375. Теперь определяем знаки производной вблизи критических точек. х = -2 -1,96838 -1.5 0.5 0,635042 1 у' = 1 0 -12 -4 0 13 В точке x₂ производная меняет знак с + на - это точка максимума функции, в точке x₁ производная меняет знак с - на + это точка минимума функции. Значения функции в точках экстремума равны: у(макс) = (1/27)(739 + 61√61) ≈ 45,01575. у(мин) = (1/27)(739 - 61√61) ≈ 9,724991.
ответ: 27-кратная сумма значений в точках экстремума функции равна 27((1/27)(739 + 61√61) + (1/27)(739 - 61√61)) = 1478.
Геометрический смысл модуля: |a - b| — расстояние между точками a и b на числовой прямой.
Пусть x — такой, при котором достигается минимум. Обозначим x1 <= x2 <= x3 — значения 0, 3x, 1 - x в порядке возрастания. Необходимо найти такой y, что сумма расстояний до трёх точек x1, x2, x3 минимальна. Я утверждаю, что минимум будет достигнут, если y = x2.
Действительно, пусть y > x3 >= x2. Сдвинем точку немного влево. Все расстояния уменьшатся, тогда сумма тоже уменьшится. Продолжаем двигать, пока y не сравняется с x3.
Если x3 >= y > x2, тоже сдвинем точку немного левее. Сумма расстояний до точек x2 и x3 постоянна и равна x3 - x2, а расстояние до x1 уменьшится. Продолжаем двигать, пока y не сравняется с x2.
Рассуждая точно так же о движении справа от x2, получаем, что в точке x2 достигается минимум, причём этот минимум равен x3 - x1.
Итак, нам удалось избавиться от y. Нужно решать такую задачу:
Найти минимум выражения f(x) = max(0, 3x, 1 - x) - min(0, 3x, 1 - x).
Перебираем случаи.
1) 3x — максимум. Тогда 3x >= 0, 3x >= 1 - x.
Первое неравенство: x >= 0
Второе неравенство: 4x >= 1; x >= 1/4.
Итог: так будет при x >= 1/4.
а) 0 — минимум. 0 <= 1 - x, x <= 1. Так будет при x из отрезка [1/4, 1].
f(x) = 3x - 0 = 3x — возрастающая функция, минимум достигается в левом конце отрезка. min = f(1/4) = 3 * 1/4 = 3/4
б) 1 - x — минимум. Так будет при x >= 1.
f(x) = 3x - (1 - x) = 4x - 1 — возрастает, минимум достигается в x = 1, min = f(1) = 3.
2) 1 - x — максимум. (1 - x >= 3x, 1 - x >= 0. Тогда x <= 1/4)
а) 0 — минимум (0 <= 3x, всё это выполнено, если x в отрезке [0, 1/4])
f(x) = 1 - x - 0 = 1 - x — убывающая функция, минимум в правом конце отрезка.
min = f(1/4) = 1 - 1/4 = 3/4.
б) 3x — минимум (x <= 0).
f(x) = 1 - x - 3x = 1 - 4x — убывающая функция, минимум в правом конце отрезка.
min = f(0) = 1.
3) 0 — максимум. Ничего интересного не будет, два случая выше уже покрыли все возможные x.
Выбираем из четырёх значений наименьшее, это 3/4.
ответ. 3/4
y' = 12x²+16x-15.
Производная функции y' существует при любом x.
Приравниваем нулю и находим критические точки.
12x²+16x-15 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=16^2-4*12*(-15)=256-4*12*(-15)=256-48*(-15)=256-(-48*15)=256-(-720)=256+720=976;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x₁=(√976-16)/(2*12)=(√976-16)/24=√976/24-16/24=4√61/24-(2/3) = √61/6-(2/3) ≈ 0,635042; x₂=(-√976-16)/(2*12)=(-√976-16)/24=-√976/24-16/24=-4√61/24-(2/3) =
-√61/6-(2/3) ≈ -1,968375.Получили 2 критические точки: x₁ = √61/6-(2/3) ≈ 0,635042;
x₂ = -√61/6-(2/3) ≈ -1,968375.
Теперь определяем знаки производной вблизи критических точек.
х = -2 -1,96838 -1.5 0.5 0,635042 1
у' = 1 0 -12 -4 0 13
В точке x₂ производная меняет знак с + на - это точка максимума функции,
в точке x₁ производная меняет знак с - на + это точка минимума функции.
Значения функции в точках экстремума равны:
у(макс) = (1/27)(739 + 61√61) ≈ 45,01575.
у(мин) = (1/27)(739 - 61√61) ≈ 9,724991.
ответ: 27-кратная сумма значений в точках экстремума функции равна
27((1/27)(739 + 61√61) + (1/27)(739 - 61√61)) = 1478.