с заданием
нужно исследовать на четность функцию​

Построим сперва прямую y=x-1. Прямая y=x, как известно, — это прямая, проходящая через начало координат и идущая вправо-вверх под углом в 45° (можешь проверить несколько точек и убедиться). А чтобы получить y=x-1, надо сместить прямую y=x на одну клетку вниз.

Нам подходят все точки ниже прямой (ведь у них координата y меньше, чем у соответствующих точек прямой; а у соответствующих точек прямой координата как раз x-1). Очевидно, сама построенная прямая не входит в нужную нам область (ведь нам надо y<x-1, а на самой прямой y=x-1). Поэтому её надо нарисовать пунктиром (обычно обозначают так).

x=-1 - решение.

Сразу скажем, что x=0 - не решение.

Пусть для начала x>0;

x^2 - 2x cos(pi x) + 1 = (x^2 + 1) - 2x cos(pi x) >= 2x - 2x cos(pi x) = 2x (1 - cos(pi x)) 

Последнее выражение >= 0, так что для того, чтобы x оказатлся корнем, нужно, чтобы 

2x (1 - cos(pi x)) = 0

x != 0 по предположению, тогда cos(pi x) = 1

x^2 - 2x + 1 = 0

x = 1.

Аналогично для x<0: x^2 - 2x cos(pi x) + 1 >= -2x - 2x cos(pi x) = -2x (1 + cos(pi x)) >= 0

cos(pi x) = -1

x^2 + 2x + 1 = 0

x = -1

Проверка. 

x=1:  1^2 -2*1*cos(pi)+1=4 != 0

x=-1: ...=0

ответ: x=-1.