Чем же замечательны замечательные пределы? Замечательность данных пределов состоит в том, что они доказаны величайшими умами знаменитых математиков, и благодарным потомкам не приходиться мучаться страшными пределами с нагромождением тригонометрических функций, логарифмов, степеней. То есть при нахождении пределов мы будем пользоваться готовыми результатами, которые доказаны теоретически.Замечательных пределов существует несколько, но на практике у студентов-заочников в 95% случаев фигурируют два замечательных предела: Первый замечательный предел, Второй замечательный предел. Следует отметить, что это исторически сложившиеся названия, и, когда, например, говорят о «первом замечательном пределе», то подразумевают под этим вполне определенную вещь, а не какой-то случайный, взятый с потолка предел.
Пусть а(n) - n-член арифметической прогрессии b(n) - n-член геометической прогрессии по формулам прогрессий а(n)=а(1)+d*(n-1) для арифметической b(n)=b(1)* для геометрической имеем а(1)=3 a(2)=3+d a(3)=3+2*d b(1)=3 b(2)=3*q b(2)=3*q² из условия задачи имеем a(2)=b(2)+6 a(3)=b(3) т.е 3+d=3*q+6 отсюда d=3*q+3 3+2*d=3*q² подставим сюда значение d из предыдущего равенства, получим 3+6*q+6=3*q² или 3q²-6*q-9=0 (разделив обе части уравнения на 3, получим q²-2*q-3=0) решим полученное квадратное уравнение q(1)=3 q(2)=-1 т.к. d=3*q+3 d(1)=12 d(2)=0 проверим при q=-1 и d=0 a(2)=3 b(2)=1/3, что не удовлетворяет условию задачи при q=3 и d=12 имеем a(2)=3+12*1=15 q(2)=3*3=9 и a(2)-b(2)=6; a(3)=3+12*2=27 b(3)=3*3²=27 и a(3)=b(3), что удовлетворяет условию задачи Окончательно имеем формула арифметической прогрессии a(n)=3+12*(n-1) формула геометической прогрессии b(n)=3*
а(n) - n-член арифметической прогрессии
b(n) - n-член геометической прогрессии
по формулам прогрессий
а(n)=а(1)+d*(n-1) для арифметической
b(n)=b(1)*
имеем
а(1)=3 a(2)=3+d a(3)=3+2*d
b(1)=3 b(2)=3*q b(2)=3*q²
из условия задачи имеем
a(2)=b(2)+6
a(3)=b(3)
т.е
3+d=3*q+6 отсюда d=3*q+3
3+2*d=3*q² подставим сюда значение d из предыдущего равенства, получим
3+6*q+6=3*q² или 3q²-6*q-9=0 (разделив обе части уравнения на 3, получим
q²-2*q-3=0)
решим полученное квадратное уравнение
q(1)=3 q(2)=-1
т.к. d=3*q+3 d(1)=12 d(2)=0
проверим
при q=-1 и d=0 a(2)=3 b(2)=1/3, что не удовлетворяет условию задачи
при q=3 и d=12 имеем a(2)=3+12*1=15 q(2)=3*3=9 и a(2)-b(2)=6;
a(3)=3+12*2=27 b(3)=3*3²=27 и a(3)=b(3), что удовлетворяет условию задачи
Окончательно имеем
формула арифметической прогрессии a(n)=3+12*(n-1)
формула геометической прогрессии b(n)=3*