Самостоятельная работа по теме: «Бинарные отношения. Матрица бинарного отношения»
Вариант 1
1. Даны множества: X=(-2,-1,4,5} и Y={-2,0,6}.
а) Задайте отношение R: «x-y> О»
б) Найдите область определения и область значений отношения R
в) Составьте матрицу бинарного отношения R
г) Составьте обратное отношение R' и его матрицу
х^2-6х-2х+12-5=0
х^2-8х+7=0
D=(-8)^2-4*1*7=64-28=36>0, 2 корня
х1=8-корень из 36 дробная черта 2=8-6 дробная черта 2=1
х2=8+корень из 36 дробная черта 2=8+6 дробная черта 2=7
ответ: х1=1; х2=7
3) (х-3)^2=5-x
х^2-2*х*3+3^2=5-х
х^2-6х+9-5+х=0
х^2-5х+4=0
D=25-4*1*4=25-16=9
х1=5-3 дробная черта 2=1
х2=5+3 дробная черта 2= 4
ответ: х1=1; х2=4
4 )6х-20=(х-6)^2
6х-20= х^2-12х+36
6х-20-х^2+12х-36=0
-х^2+18х-56=0
D=324-4*(-1)*(-56)=324-224=100
х1=-18-10 дробная черта -2=14
х2=-18+10 дробная черта -2=4
ответ: х1=14; х2=4
Задача несложная, но много писанины.
Замена, означающая поворот системы координат на угол а.
Цель - избавиться от члена 24xy. u, v - новые координаты.
x = u*cos a + v*sin a
y = u*sin a - v*cos a
4(u*cos a + v*sin a)^2 + 24(u*cos a + v*sin a)(u*sin a - v*cos a) +
+ 11(u*sin a - v*cos a)^2 = 20
4(u^2*cos^2 a + 2uv*sin a*cos a + v^2*sin^2 a) +
+ 24(u^2*sin a*cos a + uv*sin^2 a - uv*cos^2 a - v^2*sin a*cos a) +
+ 11(u^2*sin^2 a - 2uv*sin a*cos a + v^2*cos^2 a) = 20
4u^2*cos^2 a + 8uv*sin a*cos a + 4v^2*sin^2 a +
+ 24u^2*sin a*cos a + 24uv*sin^2 a - 24uv*cos^2 a - 24v^2*sin a*cos a +
+ 11u^2*sin^2 a - 22uv*sin a*cos a + 11v^2*cos^2 a = 20
u^2*(4cos^2 a+24sin a*cos a+11sin^2 a) +
+ v^2*(4sin^2 a-24sin a*cos a+11cos^2 a) +
+ uv*(24sin^2 a - 14sin a*cos a - 24cos^2 a) = 20
Находим, при каком угле а скобка при uv равна 0
24sin^2 a - 14sin a*cos a - 24cos^2 a = 0
Делим все на 2cos^2 a
12tg^2 a - 7tg a - 12 = 0
Квадратное уравнение относительно tg a
D = 7^2 - 4*12(-12) = 49 + 576 = 625 = 25^2
tg a = (7 - 25)/24 < 0 - не подходит
tg a= (7 + 25)/24 = 32/24 = 4/3 - подходит.
Нетрудно посчитать, что sin a = 4/5; cos a = 3/5
Подставляем в уравнение
u^2*(4cos^2 a+24sin a*cos a+11sin^2 a) +
+ v^2*(4sin^2 a-24sin a*cos a+11cos^2 a) +
+ uv*(24sin^2 a - 14sin a*cos a - 24cos^2 a) = 20
Получаем
u^2*(4*9/25 + 24*4/5*3/5 + 11*16/25) +
+ v^2*(4*16/25 - 24*4/5*3/5+11*9/25) + uv*0 = 20
Упрощаем
u^2*(36/25+288/25+176/25) + v^2*(64/25-288/25+99/25)=20
u^2*500/25 - v^2*125/25 = 20
20u^2 - 5v^2 = 20
u^2 - v^2/4 = 1
Это гипербола с центром (0, 0) и полуосями 1 и 2
Чертеж сами делайте, я в Пайнте не могу.