Сделать самостоятельную : 7.1. вася и толя обменялись значками. до обмена у васи было на 5 значков больше, чем у толи. после того, как вася обменял 24% своих значков на 20% значков толи, у васи стало на один значок меньше, чем у толи. сколько значков было у мальчиков до об-мена? 7.2. существуют ли дробные (нецелые) числа x, y такие, что оба числа и целые? 7.3. найдется ли среди первых 500 натуральных чисел 1, 2, …, 500 серия, состоящая из подряд идущих а) девяти составных чисел; б) одиннадцати составных чисел? 7.4. на сторонах ав и вс треугольника авс взяты точки м и n соответственно. оказа-лось, что периметр  amc равен периметру  cna, а периметр  anb равен пери-метру  cmb. докажите, что  abc равнобедренный.

7.1 Вася и Толя обменялись значками. До обмена у Васи было на 5 значков больше, чем у Толи. По- сле того, как Вася обменял 24% своих значков на 20% значков Толи, у Васи стало на один зна- чок меньше, чем у Толи. Сколько значков было у мальчиков до обмена? ответ. У Толи было 45 значков, у Васи – 50 значков. Решение. Пусть до обмена у Толи было x значков, тогда у Васи было (x + 5) значков. После обмена у Толи стало   25 6 5 5   x   x x , а у Васи   25 5 6 5 5 x x   x    . Решая уравнение     1, 25 5 6 5 5 25 6 5 5            x x x x x x находим x = 45. 7.2. Существуют ли дробные (нецелые) числа x, y такие, что оба числа 13x  4y и 10x  3y целые? ответ. Не существуют. Решение. Пусть 13x + 4y = m, 10x + 3y = n, где m и n – целые. Решим эту систему уравнений, домножив первое уравнение на 3, а второе – на 4. Вычитая уравнения, получим x = – 3m +4n, т.е. x – целое число. 7.3. Найдется ли среди первых 500 натуральных чисел 1, 2, …, 500 серия, состоящая из подряд иду- щих а) девяти составных чисел; б) одиннадцати составных чисел? ответ: а) да; б) да. Решение. Можно привести искомую серию из 11 составных чисел: 200, 201, …, 210. Объясним сначала, как найти подобную серию из 9 составных чисел. Есть 4 простых числа меньше 10: это 2, 3, 5, 7. Их произведение равно 210. Поэтому при любом целом k каждая из двух серий 210k  2,210k  3,...,210k 10 и 10 210k  2, 210k  3,...,210k  состоит из 9 составных чисел. Это отвечает на вопрос пункта а) при k = 1 или 2. Если заметить, что 20911, то получим ответ на вопрос б). 7.4. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты точки М и N соответственно. Оказалось, что пе- риметр  AMC равен периметру  CNA, а периметр  ANB равен периметру  CMB. Докажите, что  ABC равнобедренный. Решение. Будем обозначать периметр буквой P. Из условия задачи имеем P(AMC) + P(CMB) = P(CNA) + P(ANB). Отсюда P(ABC) + 2  CM = P(ABC) + 2  AN. Значит CM = AN. Из этого соотношения, учитывая равенство периметров треугольников AMC и CAN, получим, что AM = NC. Поэтому тре- угольники AMC и CAN равны по трем сторонам. Тогда A = C, значит, ABC равнобедренный.