Дана функция у = (-1/3)x^3+x^2. 1-найти область определения функции и определить точки разрыва - ограничений нет, D = R, разрывов нет. 2-Выяснить является ли чётной или нечётной. Проверим функци чётна или нечётна с соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: f(-x) = (-1/3)x³ + x² = (1/3)x³ + x² - Нет -f(-x) = -((-1/3)x³ + x²) = -((1/3)x³ + x²) = -(1/3)x³ - x² - Нет, значит, функция не является ни чётной, ни нечётной. 3-определить точки пересечения функции с координатными осями . График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: (-1/3)x³+ x² = 0. -x³ + 3x² = 0. -x²(x-3) = 0. Имеем 2 корня: х = 0 и х = 3. График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в y = (-1/3)x^3 +x^2. y = (-1/3)0³+0² = 0. Точка: (0, 0) 4-найти критические точки функции. Находим производную и приравниваем её нулю: y' = -x²+2x = -x(x-2). Имеем 2 критические точки: х = 0 и х = 2. 5-определить промежутки монотонности (возрастания,убывания). Исследуем поведение производной вблизи критических точек. х = -0.5 0 0.5 1.5 2 2.5 y'=-x^2+2x -1.25 0 0.75 0.75 0 -1.25 Где производная отрицательна - функция убывает, где положительна - функция возрастает. Возрастает на промежутке [0, 2] Убывает на промежутках (-oo, 0] U [2, oo) 6-определить точки экстремума. Они уже найдены: это 2 критические точки: х = 0 и х = 2. Где производная меняет знак с - на + это минимум функции, а где с + на - это максимум функции. Минимум функции в точке: x = 0, Максимум функции в точке: х = 2. 7 -определить максимальное и минимальное значение функции. Значения функции в экстремальных точках: х = 2, у = (-1/3)*2³+2² = -8/3 + 4 = 4/3, х = 0, у = 0. 8- определить промежутки вогнутости и выпуклости кривой,найти точки перегиба. Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение d2/dx2f(x)=0(вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции, d2/dx2f(x)= -2х + 2 =-2(x−1)=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=1 Интервалы выпуклости и вогнутости: Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов: Вогнутая на промежутках (-oo, 1] Выпуклая на промежутках [1, oo)
1-найти область определения функции и определить точки разрыва - ограничений нет, D = R, разрывов нет.
2-Выяснить является ли чётной или нечётной.
Проверим функци чётна или нечётна с соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
f(-x) = (-1/3)x³ + x² = (1/3)x³ + x²
- Нет
-f(-x) = -((-1/3)x³ + x²) = -((1/3)x³ + x²) = -(1/3)x³ - x²
- Нет, значит, функция не является ни чётной, ни нечётной.
3-определить точки пересечения функции с координатными осями .
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
(-1/3)x³+ x² = 0.
-x³ + 3x² = 0.
-x²(x-3) = 0.
Имеем 2 корня: х = 0 и х = 3.
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в y = (-1/3)x^3 +x^2.
y = (-1/3)0³+0² = 0. Точка: (0, 0)
4-найти критические точки функции.
Находим производную и приравниваем её нулю:
y' = -x²+2x = -x(x-2).
Имеем 2 критические точки: х = 0 и х = 2.
5-определить промежутки монотонности
(возрастания,убывания).
Исследуем поведение производной вблизи критических точек.
х = -0.5 0 0.5 1.5 2 2.5
y'=-x^2+2x -1.25 0 0.75 0.75 0 -1.25
Где производная отрицательна - функция убывает, где положительна - функция возрастает.
Возрастает на промежутке
[0, 2]
Убывает на промежутках
(-oo, 0] U [2, oo)
6-определить точки экстремума.
Они уже найдены: это 2 критические точки: х = 0 и х = 2.
Где производная меняет знак с - на + это минимум функции, а где с + на - это максимум функции.
Минимум функции в точке: x = 0,
Максимум функции в точке: х = 2.
7 -определить максимальное и минимальное значение функции.
Значения функции в экстремальных точках:
х = 2, у = (-1/3)*2³+2² = -8/3 + 4 = 4/3,
х = 0, у = 0.
8- определить промежутки вогнутости и выпуклости кривой,найти точки перегиба.
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2/dx2f(x)=0(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции,
d2/dx2f(x)= -2х + 2 =-2(x−1)=0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=1
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, 1]
Выпуклая на промежутках
[1, oo)
x 2-29x+180=0
Было найдено два решения :
x = 20
x = 9
Пошаговое решение :
Шаг 1 :
Попытка факторинга путем разделения среднего срока
1.1 Факторинг x 2-29x+180
Первый член равен, x 2 его коэффициент равен 1 .
Средний срок составляет, - 29x его коэффициент составляет -29 .
Последний член, "константа", равен +180
Шаг-1 : умножьте коэффициент первого члена на константу 1 • 180 = 180
Шаг-2 : Найдите два фактора 180, сумма которых равна коэффициенту среднего члена, который равен -29 .
-180 + -1 = -181
-90 + -2 = -92
-60 + -3 = -63
-45 + -4 = -49
-36 + -5 = -41
-30 + -6 = -36
-20 + -9 = -29 Вот и все.
Шаг 3 : переписать многочлен разделить на средне перспективу, используя два фактора нашли в шаге 2 выше, -20 и -9
х2 - 20х - 9Х - 180
Шаг 4 : Складываем первые 2 условия, вытаскивая, как факторы :
х • (х-20)
складываем последние 2 условия, вытаскивая общие факторы :
9 • (х-20)
Шаг 5 : складываем четыре круга Шаг 4 :
(х-9) • (х-20)
, который является желаемым факторизации
Уравнение в конце шага 1 :
(x-9) • (x - 20) = 0
Шаг 2 :
Теория-корни продукта :
2.1 произведение нескольких членов равно нулю.
Теперь мы будем решать каждый член = 0 отдельно
, другими словами, мы будем решать столько уравнений, сколько существует членов в произведении
любое решение члена = 0 решает также произведение = 0.
Решение одного переменного уравнения :
2.2 решить : x-9 = 0
Добавить 9 к обеим сторонам уравнения:
x = 9
Решение одного переменного уравнения :
2.3 решить : x-20 = 0
Добавить 20 к обеим сторонам уравнения :
x = 20
.
Для любой параболы Ax 2 +Bx+C координата x вершины задается через-B / (2A) . В нашем случае координата x равна 14.5000
Подключаясь к формуле параболы 14.5000 для x, мы можем вычислить координату y :
y = 1.0 * 14.50 * 14.50 - 29.0 * 14.50 + 180.0
или y = -30.250
Парабола, графическая вершина и X-перехваты :
Корневой участок для : У = Х2-29-кратным+180
оси симметрии (пунктирная) {х}={14.50}
вершин в {Х,Y} = {14.50,-30.25}
х -перехватывает (корень) :
корень 1 в {Х,Y} = { 9.00, 0.00}
корень 2 в {Х,Y} = {20.00, 0.00}
Решите квадратичное уравнение, заполнив квадрат
3.2 решение x 2-29x+180 = 0 путем заполнения квадрата .
Отнимите 180 от обеих сторон уравнения :
х2-29 раз = -180
сейчас умно: возьмите коэффициент х , который 29 , делим на два, что 29/2 , и, наконец, это дает 841/4
добавить 841/4 с обеих сторон :
с правой стороны мы имеем :
-180 + 841/4 или, (-180/1)+(841/4)
Общим знаменателем двух дробей 4 сложения (-720/4)+(841/4) дает 121/4
поэтому добавлять к обеим сторонам, мы, наконец, получаем :
х2-29 раз+(841/4) = 121/4
добавление 841/4 завершил левой стороны в идеальный квадрат :
х2-29x+(841/4) =
(x-(29/2)) • (x-(29/2)) =
(x-(29/2)) 2
вещи, равные одной и той же вещи, также равны друг другу. Поскольку
x 2-29x+(841/4) = 121/4 и
x 2-29x+(841/4) = (x-(29/2)) 2
, то, согласно закону транзитивности,
(x-(29/2)) 2 = 121/4
мы будем называть это уравнение эквалайзером. #3.2.1
принцип квадратного корня говорит, что когда две вещи равны, их квадратные корни равны.
Обратите внимание, что квадратный корень из
(x-(29/2)) 2 равен
(x-(29/2)) 2/2 =
(x-(29/2)) 1 =
x-(29/2)
теперь, применяя принцип квадратного корня к эквалайзеру. #3.2.1 получаем:
x-(29/2) = √ 121/4
добавляем 29/2 к обеим сторонам, чтобы получить:
x = 29/2 + √ 121/4
Поскольку квадратный корень имеет два значения, один положительный, а другой отрицательный
x 2-29x + 180 = 0
имеет два решения:
x = 29/2 + √ 121/4
или
x = 29/2 - √ 121/4
обратите внимание, что √ 121/4 можно записать как
√ 121 / √ 4, что составляет 11 / 2
Решите квадратичное уравнение, используя квадратичную формулу
3.3 решение x 2-29x+180 = 0 по квадратичной Формуле .
По квадратичной Формуле, х , раствор для топор2+ВХ+с = 0 , Где А, B и с - числа, часто называемых коэффициентов, определяется по формуле :
- Б ± √ Б2-4AC
х =
2А
в нашем случае а = 1
Б = -29
С = 180
соответственно Б2 - 4AC =
841 - 720 =
121
применение квадратичной формулы :
29 ± √ 121
х =
2
может √ 121 быть упрощена ?
- Да ! Первичная факторизация 121 составляет
11 * 11
, Чтобы иметь возможность удалить что-то из-под радикала, должно быть 2 экземпляра этого (потому что мы берем квадратный т. е. второй корень).
√ 121 = √ 11•11 =
± 11 • √ 1 =
± 11
, Так что теперь мы ищем:
х = ( 29 ± 11) / 2
два реальных решения:
х =(29+√121)/2=(29+11)/2= 20.000
или:
Х =(29-√121)/2=(29-11)/2= 9.000
Было найдено два решения :
x = 20
x = 9
Объяснение: