3) уравнение и длину высоты, опущенной из вершины С;
4) точку пересечения высот;
5) уравнение медианы, проведенной через вершину С;
6) систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.
А ( 1; -5 )
В ( 4; -4 )
С ( -2; -1 )
Сделаем чертёж:
1)длина стороны АВ: - длина стороны АВ.
2) внутренний угол А с точностью градуса:
Для поиска угла воспользуемся формулой . В данном случае k1=kАB, а k2=kАC - угловые коэффициенты прямых АВ и АС.
Найдем угловые коэффициенты по формуле: .
; ?
? А=arctg(-3)=180°-72°»108° - внутренний угол А.
3) уравнение и длину высоты, опущенной из вершины С:
Составим уравнение высоты CD.
Высота CD перпендикулярна стороне AB. По условию перпендикулярности двух прямых
Составим уравнение высоты CD по известной точке и угловому коэффициенту:
y-yс=k(x-xс)
y+1=-3.(x+2)
y+1=-3x-6
3x+y+7=0 - уравнение высоты (CD)
Найдем длину высоты CD по формуле для расстояния от точки до прямой:
Составим уравнение прямой AB по угловому коэффициенту и точке A, принадлежащей прямой:
y-yА=kАВ(x-xА)
y+5=(x-1) - Домножим на 3 обе части уравнения:
3y+15=x-1
x-3y-16=0 - уравнение (AB)
Тогда (ед. дл.) – длина высоты (СD).
4) точку пересечения высот:
Точку пересечения двух прямых можно найти, решив систему уравнений, задающих эти прямые, поэтому нужно найти уравнение еще одной высоты, например, BK.
Составим уравнение высоты (BK) по известной точке и угловому коэффициенту:
y-yВ=k(x-xВ)
y-4=3/4.(x-4) - Домножим на 4 обе части уравнения:
4y-16=3x-12
3x-4y+28=0 - уравнение (BK), тогда
(.) О:
Таким образом, высоты пересекаются в точке О: (-56/15;63/15)
5) уравнение медианы, проведенной через вершину С:
Найдем координаты точки E как координаты середины отрезка АВ:
(.)Е: (5/2; -9/2)
Запишем уравнение медианы (CE) по 2 точкам:
-7(x+2)=9(y+1)
-7x-14-9y-9=0
-7x-9y-23=0
7x+9y+23=0 уравнение медианы (CE).
6. Систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС:
Составим уравнение всех сторон треугольника:
Уравнение стороны АВ уже было составлено: x-3y-16=0
Составим уравнение прямой AС по угловому коэффициенту и точке A, принадлежащей прямой:
y-yА=kАC(x-xА)
y+5=(x-1) - Домножим на 3 обе части уравнения:
3y+15=-4x+4
4x+3y+11=0 - уравнение (АС)
Найдем уравнение стороны (ВС) по 2 точкам:
3.(х-4)=-6.(y+4)
x+2y-4+8=0
x+2y+4=0 - уравнение (BС)
Для определения знаков неравенств в левую часть каждого уравнения подставим координаты противоположной вершины, которая гарантированно принадлежит соответствующей полуплоскости:
Подставим (.)С (-2;-1) в уравнение (АВ) x-3y-16=-2-3.(-1)-16 =-15<0
Подставим (.)В (4;-4) в уравнение (АС) 4x+3y+11=4.4+3.(-4)+11=15>0
Подставим (.)А (1;-5) в уравнение (ВС) x+2y+4=1+2. (-5)+4=-5<0
Теперь можно записать систему неравенств:
1) длина стороны АВ: =
2) внутренний угол А с точностью градуса: А »108°;
3) уравнение и длина высоты, опущенной из вершины С: 3x+y+7=0 - (CD) иед.дл.
4) точка пересечения высот О: (-56/15;63/15);
5) уравнение медианы, проведенной через вершину С: 7x+9y+23=0 - (CE);
6) система линейных неравенств, определяющих треугольник АВС:
а) (x - 3)(x - 7) - 2x(3x - 5) = x*x - 3*x - 7*x - 3(-7) - 2x*3x - 2x(-5) =
= x^2 - 10x + 21 - 6x^2 + 10x = -5x^2 + 21
б) 4a(a - 2) - (a - 4)^2 = 4a^2 - 8a - (a^2 - 8a + 16) =
= 4a^2 - 8a - a^2 + 8a - 16 = 3a^2 - 16
в) 2(m+1)^2 - 4m = 2(m^2+2m+1) - 4m = 2m^2 + 4m + 2 - 4m = 2m^2 + 2
2) а) Выносим х за скобки и раскладываем разность квадратов
x^3 - 9x = x(x^2 - 9) = x(x - 3)(x + 3)
б) Выносим -5 за скобки и получаем квадрат суммы
-5a^2 - 10ab - 5b^2 = -5(a^2 + 2ab + b^2) = -5(a + b)^2
3) Раскрываем скобки
(y^2 - 2y)^2 - y^2(y + 3)(y - 3) + 2y(2y^2 + 5) =
= y^4 - 4y^3 + 4y^2 - y^2(y^2 - 9) + 4y^3 + 10y =
= y^4 - 4y^3 + 4y^2 - y^4 + 9y^2 + 4y^3 + 10y = 13y^2 + 10y
4) а) Разность квадратов два раза
16x^4 - 81 = (4x^2 - 9)(4x^2 + 9) = (2x - 3)(2x + 3)(4x^2 + 9)
б) Разность квадратов
x^2 - x - y^2 - y = (x^2 - y^2) - (x + y) = (x-y)(x+y) - (x+y) = (x+y)(x-y-1)
5) x^2 - 4x + 9 = x^2 - 4x + 4 + 5 = (x - 2)^2 + 5
При любом х значение квадрата >= 0, а выражения >= 5
Даны вершины А(х1; у1), В(х2; у2), С(х3, у3) треугольника.
Сделать чертеж и найти:
1) длину стороны АВ;
2) внутренний угол А с точностью градуса;
3) уравнение и длину высоты, опущенной из вершины С;
4) точку пересечения высот;
5) уравнение медианы, проведенной через вершину С;
6) систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.
А ( 1; -5 )
В ( 4; -4 )
С ( -2; -1 )
Сделаем чертёж:
1)длина стороны АВ: - длина стороны АВ.
2) внутренний угол А с точностью градуса:
Для поиска угла воспользуемся формулой . В данном случае k1=kАB, а k2=kАC - угловые коэффициенты прямых АВ и АС.
Найдем угловые коэффициенты по формуле: .
; ?
? А=arctg(-3)=180°-72°»108° - внутренний угол А.
3) уравнение и длину высоты, опущенной из вершины С:
Составим уравнение высоты CD.
Высота CD перпендикулярна стороне AB. По условию перпендикулярности двух прямых
Составим уравнение высоты CD по известной точке и угловому коэффициенту:
y-yс=k(x-xс)
y+1=-3.(x+2)
y+1=-3x-6
3x+y+7=0 - уравнение высоты (CD)
Найдем длину высоты CD по формуле для расстояния от точки до прямой:
Составим уравнение прямой AB по угловому коэффициенту и точке A, принадлежащей прямой:
y-yА=kАВ(x-xА)
y+5=(x-1) - Домножим на 3 обе части уравнения:
3y+15=x-1
x-3y-16=0 - уравнение (AB)
Тогда (ед. дл.) – длина высоты (СD).
4) точку пересечения высот:
Точку пересечения двух прямых можно найти, решив систему уравнений, задающих эти прямые, поэтому нужно найти уравнение еще одной высоты, например, BK.
Составим уравнение высоты (BK) по известной точке и угловому коэффициенту:
y-yВ=k(x-xВ)
y-4=3/4.(x-4) - Домножим на 4 обе части уравнения:
4y-16=3x-12
3x-4y+28=0 - уравнение (BK), тогда
(.) О:
Таким образом, высоты пересекаются в точке О: (-56/15;63/15)
5) уравнение медианы, проведенной через вершину С:
Найдем координаты точки E как координаты середины отрезка АВ:
(.)Е: (5/2; -9/2)
Запишем уравнение медианы (CE) по 2 точкам:
-7(x+2)=9(y+1)
-7x-14-9y-9=0
-7x-9y-23=0
7x+9y+23=0 уравнение медианы (CE).
6. Систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС:
Составим уравнение всех сторон треугольника:
Уравнение стороны АВ уже было составлено: x-3y-16=0
Составим уравнение прямой AС по угловому коэффициенту и точке A, принадлежащей прямой:
y-yА=kАC(x-xА)
y+5=(x-1) - Домножим на 3 обе части уравнения:
3y+15=-4x+4
4x+3y+11=0 - уравнение (АС)
Найдем уравнение стороны (ВС) по 2 точкам:
3.(х-4)=-6.(y+4)
x+2y-4+8=0
x+2y+4=0 - уравнение (BС)
Для определения знаков неравенств в левую часть каждого уравнения подставим координаты противоположной вершины, которая гарантированно принадлежит соответствующей полуплоскости:
Подставим (.)С (-2;-1) в уравнение (АВ) x-3y-16=-2-3.(-1)-16 =-15<0
Подставим (.)В (4;-4) в уравнение (АС) 4x+3y+11=4.4+3.(-4)+11=15>0
Подставим (.)А (1;-5) в уравнение (ВС) x+2y+4=1+2. (-5)+4=-5<0
Теперь можно записать систему неравенств:
1) длина стороны АВ: =
2) внутренний угол А с точностью градуса: А »108°;
3) уравнение и длина высоты, опущенной из вершины С: 3x+y+7=0 - (CD) иед.дл.
4) точка пересечения высот О: (-56/15;63/15);
5) уравнение медианы, проведенной через вершину С: 7x+9y+23=0 - (CE);
6) система линейных неравенств, определяющих треугольник АВС: