Sin⁴a+cos⁴a-1÷(sin⁶a+cas⁶a-1)=?

Интересная задачка.

Для того, чтобы начать решать эту задачу, нам необходимо найти такую последовательность, которая приносила бы нам всегда удачу! Из условия ясно, что начинающий должен ходить первый. Можно предложить такой вариант ходов: 
Начинающий должен взять один карандаш. Остается 17 штук. Какое бы количество карандашей ни взял противник, обязательно нужно оставить 13 карандашей на столе. По такому же раскладу, надо оставить 9 карандашей, а затем 5. Какое бы количество карандашей не взял соперник, начинающий всегда сможет оставить ему 1 карандаш.

Алгоритм поиска.
Ищем точки экстремума по условию y'=0. Определяем, является ли точка минимумом или максимумом по критерию изменения знака y' в данной точке: если знак y' изменяется с "+" на "-", то функция имеет максимум; если с "-" на "+" - минимум; если не изменяется - не является экстремумом.
Наибольшее значение на отрезке определяется как максимальное значение среди всех максимумов функции на отрезке и значений функции на концах отрезка.
Наименьшее значение функции определяется как минимальное значение среди всех минимумов на отрезке и значений функции на концах отрезка.

5.10
a) y = x³ - 3x²; отрезок [-1; 3]

y(-1) = (-1)³-3(-1)² = -1-3 = -4
y(3) = 3³-3*3² = 0

y'=3x²-6x=3x(x-2). Точки, подозрительные на экстремум: x=0; x=2. При x∈(0;2) y'<0 (функция y убывает (y↓)), при x∉(0;2) y'>0 (функция y возрастает (y↑)).
y(0) = 0
y(2) = 2³-3*2² = 8-12 = -4

Слева от точки (0;0) функция y возрастающая, справа - убывающая. Значит, точка (0;0) является локальным максимумом.
Слева от точки (2;-4) функция y убывающая, справа - возрастающая. Значит, точка (2;-4) является локальным минимумом.

Наибольшее значение функции y на отрезке [-1;3] равно max (y(-1),y(0),y(3)) = max (-4,0,0) = 0 (достигается в точках x=0 и x=3.
Наименьшее значение функции y на отрезке [-1;3] равно min (y(-1),y(2),y(3)) = min (-4,-4,0) = -4 (достигается в точках x=-1 и x=2.

В остальных решениях я буду писать кратко.

б) y = 2x³ - 6x² + 9; отрезок [-2; 2]

y(-2) = 2(-2)³ - 6(-2)² + 9 = -16 - 24 + 9 = -31
y(2) = 2(2)³ - 6(2)² + 9 = 16 - 24 + 9 = 1

y' = 2*3x² - 6*2x = 6x(x-2)
y'=0 ⇒ x∈{0;2}

x∈(0;2) ⇒ y'<0 ⇒ y↓
x∉[0;2] ⇒ y'>0 ⇒ y↑

y(0) = 9

(0;9): y слева ↑, справа ↓ ⇒ (0;9) - локальный максимум
(2;1): y слева ↓, справа ↑ ⇒ (2;1) - локальный минимум

max (y(-2),y(0)) = max (-31,9) = 9 ⇒ x=0
min (y(-2),y(2)) = min (-31,1) = -31 ⇒ x=-2

5.11
а) y = 2x³ - x²; отрезок [-1; 1]

y(-1) = 2(-1)³ - (-1)² = -2 - 1 = -3
y(1) = 2(1)³ - (1)² = 2 - 1 = 1

y' = 2*3x² - 2x = 2x(3x-1)
y'=0 ⇒ x∈{0;1/3}

x∈(0;1/3) ⇒ y'<0 ⇒ y↓
x∉[0;1/3] ⇒ y'>0 ⇒ y↑

y(0) = 0
y(1/3) = 2(1/3)³ - (1/3)² = 2/27 - 1/9 = -1/27

(0;0): слева y↑, справа y↓ ⇒ (0;0) - локальный максимум
(1/3;-1/27): слева н↓, справа y↑ ⇒ (1/3;-1/27) - локальный минимум

max (y(-1),y(0),y(1)) = max (-3,0,1) = 1 ⇒ x=1
min (y(-1),y(1/3),y(1)) = min (-3,-1/27,1) = -3 ⇒ x=-1

б) y = 2x³ + 6x² + 8; отрезок [-3; 2]

y(-3) = 2(-3)³ + 6(-3)² + 8 = -54 + 54 + 8 = 8
y(2) = 2(2)³ + 6(2)² + 8 = 16 + 24 + 8 = 48

y' = 2*3x² + 6*2x = 6x(x+2)
y'=0 ⇒ x∈{-2;0}

x∈(-2;0) ⇒ y'<0 ⇒ y↓
x∉[-2;0] ⇒ y'>0 ⇒ y↑

y(-2) = 2(-2)³ + 6(-2)² + 8 = -16 + 24 + 8 = 16
y(0) = 8

(-2;16): слева y↑, справа y↓ ⇒ (-2;16) - локальный максимум
(0;8): слева y↓, справа y↑ ⇒ (0;8) - локальный минимум

max (y(-3),y(-2),y(2)) = max (8,16,48) = 48 ⇒ x=2
min (y(-3),y(0),y(2)) = min (8,8,48) = 8 ⇒ x∈{-3;0}