Системи рівнянь другого степеня з двома змінними І варіант
1. Вказати пару чисел, яка є розв’язкам системи рівнянь: х2+у2=10,
х+у=4.
2. Вказати систему рівнянь, яку задовольняє пара чисел (1; 2)
3. Знайдіть кількість розв’язків заданої системи рівнянь: х2+у2=4;
ху=-1.
4. Вказати рисунок, що відповідає розв’язку системи: у=1-х2;
у=(х-1)2.
5. Розв’язати систему рівнянь графічно:
x2  y  6; x  y  6;
6. Розв`язати систему рівнянь аналітично:
А (-1; -3)
Б (-1; 3)
В (1; -3)
Г (1;3)
А х2+у2=5, х+у=4.
Б х2+у2=5, 2х+у=4.
В х2+у2=5, 2х -у=1.
Г х2+у2=5, х -2у=1.
А0
Б1
В2
Г4
x  y  2;
а)y22xy3; б)xy4;
x2 y2 2xy36;

ІІ варіант
1. Вказати пару чисел, яка є розв’язкам системи рівнянь: х2+у2=10,
х-+у= - 4.
2. Вказати систему рівнянь, яку задовольняє пара чисел (-1;- 2)
3. Знайдіть кількість розв’язків заданої системи рівнянь:
х2+у2=4; у=х2.
4. Вказати рисунок, що відповідає розв’язку системи: у=1-х;
у=(х-1)2.
5. Розв’язати графічно:
x2 y2; x  y  4;
6. Розв`язати систему рівнянь аналітично:
А (-1; -3)
Б (-1; 3)
В (1; -3)
Г (1;3)
А х2+у2=5, х+у=4.
Б х2+у2=5, 2х+у=4.
В х2+у2=5, 2х -у=1.
Г х2+у2=5, х -2у=3.
А0
Б1
В2
Г4
x   y  4;
а) y2 3xy18; б) xy3;
x2 y2 2xy49;

Поскольку необходимо представить число 68 в виде суммы двух чисел, то пусть первое число х, тогда второе число (68-х).
Тогда сумма квадратов слагаемых будет равна:
х²+(68-х)²=х²+68²-2*68*х+х²=2х²-136х+4624

Здесь можно найти минимальное значение 2-мя
1) с производной
(2х²-136х+4624)'=4x-136
4x-136=0
4x=136
x=136:4
х=34
Значит будет 2 одинаковых положительных числа 34 и 34.

2) с графика
y=2х²-136х+4624
Это парабола - ветви направлены вверх. Значит наименьшее значение будет в вершине параболы.
х₀=-b/2a=-(-136)/4=34

34+34=68

Произвести полное исследование функции f(x) =x³ / (x² - 1)  и построить график.

1.  ООФ:  x ∈ ( -∞ ; -1 ) ∪ ( -1 ; 1) ∪ ( 1 ; ∞).      x² - 1 ≠ 0 ;  x ≠ ±1 .

вертикальные асимптоты    x = -1  и x =1

2.  f( -x) = (- x)³ / ( (-x)² -1 )  =  - x³ / (x² - 1) = f(x)   → нечетная функция

Следовательно , график функции  симметричен относительно начала координат (центральная симметрия) , достаточно сначало построить график функции  x∈ ( 0 ; ∞) ,а затем  дополнить  симм.   x ( - ∞; 0)

3. Точки пересечения  с осями координат

График функции проходит через начало координат:  ( 0 ; 0 )  4. Экстремумы функции  

f '(x) = ( 3x²*(x² - 1) - x³*2x ) / (x² - 1)²  =  x²*(x² - 3) ) / (x² - 1)²

= (x+√3)*x²*(x -√3) ) / (x² - 1)²                       ||

f '(x) = 0 ⇒x = - √3  ; x=0 , x =  √3  → критические (стационарные) точки ,

из них   x = - √3   и  x =  √3   точки  экстремумов

+ + + + + + + [- √3] - - - - - - -  [0] - - - - - - -  [√3] + + + + + + +

x =  -√3 _точка  максимума   ;    x =  √3 _точка  минимума

(точки локальных максимумов  и минимумов )

max f(x) = - 3√3 /2  ≈  -2,6   ;                min  f(x) =  3√3 /2 ≈  2,6

5.  Точки  перегиба

f '' (x)  = ( f'(x) ) ' = ( x²*(x² - 3) ) / (x² - 1)² ) ' =

( (4x³ -6x)(x² - 1)² -x²*(x² - 3)*2(x² - 1)2x ) / (x² - 1)^4 =

2x ( ( 2x² -3)(x² - 1) -2x²*(x² - 3) ) / (x² - 1)³ =2x(x² +3) / (x² - 1)³

x = 0 точка перегиба

6. Наклонные  асимптоты

 k = Lim f(x) / x   =   Lim x³ / x(x² - 1)    Lim 1 / (1  - 1/x²)   = 1

          x→∞

b = Lim( f(x) - k*x )  Lim( f(x) - k*x ) = Lim (x³ / (x² - 1)  - 1*x ) =

       x→∞

Lim (x / (x² - 1)  = 0

x→∞

y = x

- - - - - - - - - - -

P.S. интервалы  знакопостоянства функции

f(x) > 0   ;  x³ / (x² - 1)  > 0⇔ x³ * (x² - 1)  > 0 ⇔ (x + 1)x³(x -1) > 0

- - - - - - - ( -1) + + + + + + + (0) - - - - - - - (1) + + + + + + +

f(x)  > 0  ⇒  x ∈ ( -1 ; 0) ∪ (1 ; ∞) ;

f(x) <  0  ⇒ x ∈ ( ∞ ;-1 ) ∪ (0 ; 1 ) .

- - -

√3 ≈1,73  ; 3√3/2 ≈ 2,6

график   во вложении