F (x) = - x² -2x +8 ; * * * * * f(x) = 9 - (x+1)² * * * * * =(3² - (x+1)² =(3 -x -1)(3+x+1) = - (x+4)(x -2) * * * * * 1. ООФ : ( - ∞ ; ∞) . 2. Функция не четной и не нечетной * * * * * и не периодической * * * * * . 3 Точки пересечения функции с координатными осями : а) с осью y : x =0⇒ y = 8 ; A(0 ;8) * * * * * -0² -2*0 +8 =8 * * * * * б) с осью x : y =0 ⇒ - x² -2x +8 =0 ⇔ x² +2x -8 =0 ⇒x₁= -1 - 3 = - 4 ; x₂ = -1 +3 =2 . B(-4; 0) и C(2;0). * * * * * D/4 = (2/2)² -(-8) = 9 =3² * * * * * 4. Критические точки функции. * * * * * значения аргумента (x) при которых производная =0 или не существует) * * * * * f ' (x) = ( - x² -2x +8 )' = - (x²)' - (2x )' +(8 )' = -2* x - 2(x )' + 0 = -2x - 2 = -2(x+1); f ' (x) = 0 ⇒ x = -1 (одна критическая точка) . 5. Промежутки монотонности : а) возрастания : f ' (x) > 0 ⇔ -2(x+1) > 0 ⇔ 2(x+1) < 0 ⇔ x < -1 иначе x∈( -∞; -1). б) убывания : f ' (x) < 0 ⇔ -2(x+1) < 0 ⇔ 2(x+1) > 0 иначе x∈ ( 1 ;∞ ). 6. Точки экстремума: * * * * * производная меняет знак * * * * * x = - 1. 7. Максимальное и минимальное значение функции : Единственная точка экстремума x = - 1 является точкой максимума , т.к. производная меняет знак с минуса на плюс . max(y) = - (-1)² -2(-1) +8 = 9. 8. промежутки выгнутости и выпуклости кривой; найти точки перегиба. * * * * * f ' ' (x) =0 * * * * * f ' ' (x) =( f'(x))' =( -2x -2) ' = -2 < 0 ⇒ выпуклая в ООФ здесь R by (-∞; ∞) не имеет точки перегиба (точки при которых f ' ' (x) = 0 ) .
P.S. y = -x² -2x +8 = 9 -(x+1)² . График этой функции парабола вершина в точке M(- 1; 9) , ветви направлены вниз , что указано во второй строке решения . Эту функцию предлагали наверно для "тренировки".
Дано: АВСД - трапеция, АВ=СД, АД=20√3, ∠А=∠Д=60°, АС⊥СД. Найти S(АВСД).
Решение: Проведем высоту СН, тогда S(АВСД)=(ВС+АД):2*СН.
Рассмотрим ΔАСД - прямоугольный, ∠Д=60°, тогда ∠САД=90-60=30°, а СД=1\2 АД=20√3:2=10√3.
Диагональ АС перпендикулярна к боковой стороне и делит угол А пополам, значит большее основание трапеции в два раза больше меньшего основания и её боковых сторон; и высота трапеции равна половине её диагонали.
* * * * * f(x) = 9 - (x+1)² * * * * * =(3² - (x+1)² =(3 -x -1)(3+x+1) = - (x+4)(x -2) * * * * *
1. ООФ : ( - ∞ ; ∞) .
2. Функция не четной и не нечетной * * * * * и не периодической * * * * * .
3 Точки пересечения функции с координатными осями :
а) с осью y : x =0⇒ y = 8 ; A(0 ;8) * * * * * -0² -2*0 +8 =8 * * * * *
б) с осью x : y =0 ⇒ - x² -2x +8 =0 ⇔ x² +2x -8 =0 ⇒x₁= -1 - 3 = - 4 ; x₂ = -1 +3 =2 .
B(-4; 0) и C(2;0).
* * * * * D/4 = (2/2)² -(-8) = 9 =3² * * * * *
4. Критические точки функции.
* * * * * значения аргумента (x) при которых производная =0 или не существует) * * * * *
f ' (x) = ( - x² -2x +8 )' = - (x²)' - (2x )' +(8 )' = -2* x - 2(x )' + 0 = -2x - 2 = -2(x+1);
f ' (x) = 0 ⇒ x = -1 (одна критическая точка) .
5. Промежутки монотонности :
а) возрастания :
f ' (x) > 0 ⇔ -2(x+1) > 0 ⇔ 2(x+1) < 0 ⇔ x < -1 иначе x∈( -∞; -1).
б) убывания :
f ' (x) < 0 ⇔ -2(x+1) < 0 ⇔ 2(x+1) > 0 иначе x∈ ( 1 ;∞ ).
6. Точки экстремума:
* * * * * производная меняет знак * * * * *
x = - 1.
7. Максимальное и минимальное значение функции :
Единственная точка экстремума x = - 1 является точкой максимума ,
т.к. производная меняет знак с минуса на плюс .
max(y) = - (-1)² -2(-1) +8 = 9.
8. промежутки выгнутости и выпуклости кривой; найти точки перегиба.
* * * * * f ' ' (x) =0 * * * * *
f ' ' (x) =( f'(x))' =( -2x -2) ' = -2 < 0 ⇒ выпуклая в ООФ здесь R by (-∞; ∞)
не имеет точки перегиба (точки при которых f ' ' (x) = 0 ) .
P.S. y = -x² -2x +8 = 9 -(x+1)² .
График этой функции парабола вершина в точке M(- 1; 9) , ветви направлены вниз , что указано во второй строке решения .
Эту функцию предлагали наверно для "тренировки".
Дано: АВСД - трапеция, АВ=СД, АД=20√3, ∠А=∠Д=60°, АС⊥СД. Найти S(АВСД).
Решение: Проведем высоту СН, тогда S(АВСД)=(ВС+АД):2*СН.
Рассмотрим ΔАСД - прямоугольный, ∠Д=60°, тогда ∠САД=90-60=30°, а СД=1\2 АД=20√3:2=10√3.
Диагональ АС перпендикулярна к боковой стороне и делит угол А пополам, значит большее основание трапеции в два раза больше меньшего основания и её боковых сторон; и высота трапеции равна половине её диагонали.
СД=ВС=20√3:2=10√3;
АС²=(20√3)²-(10√3)²=1200-300=900; АС=√900=30.
СН=1\2 АС=30:2=15.
S(АВСД)=(20√3+10√3):2*15=225√3 (ед²).
ответ: 225√3 ед²