Скількома можуть розміститись 4 дівчинки на лавці?
А. 8. Б. 16. В. 24. Г. 4.

1) y (x) = 1/3*x³ -x² +1)  ;  x∈ [-1 ; 3 ] .

min(y) --?  max(y) --?

y ' (x) = (1/3*x³ -x² +1)' =1/3*3*x² - 2*x +0 =x²  -2x ;
  y ' (x) = 0;
x² - 2x  = 0 ;
x(x-2) =0 ;
x=0;
x =2.

y(a) =y(-1) = 1/3*(-1)³ -(-1)² +1= - 1/3 -1 +1  = -1/3 .
y(b) =y(3) =1/3*(3)³ -3² +1 =1/3*27 -9 +1 = 1.
y(0) = 1/3*0³ -0² +1 = 1.
y(2) = 1/3*2³ -2² +1² =8/3 -4 +1 = -1/3.

min(y) = -1/3.
max(y)  =1.

2)  y = 5/3 ax³  -30x² +5(a+9)x   -7 .
y '    = 5ax² - 60x +5(a+9) =5(ax² -12x +a+9) ;
функция  возрастает на всей числовой прямой
y ' > 0;  
5(ax²  -12x +a+9)>0    ;
ax² -12x +a+9 > 0;

a=0 ⇒x<3/4    т.е.  не при всех   видно было сразу из функции  при a=0
y = -30x² +45x   -7  парабола ветви вниз (не имеет минимума)

a ≠ 0 ;
{ a > 0 ; D < 0 ⇔{ a > 0 ; D/4 < 0  ;
{a>0 ; 6² -a(a+9)<0.  {a>0 ; a² -9a -36 >0 .   {a>0 ; (a +3)(a -12) >0 .
{a>0 ; a∈( -∞; -3) U (12;∞).    
a> 12.

ответ:   a> 12

Задача сводится к взятию производной от функции для поиска максимума и минимума, а также проверке значений на концах отрезка.

y' = x² - 1

критические точки

x² - 1 = 0 ⇔ x = -1, x = 1 ⇒ x=-1 не входит в нашу область по условию 0 ≤ x ≤ 4

 

___-1___+___0-1+4+_

 

y' > 0 на интервале x∈(-∞, -1)U(1, +∞)

y' < 0 при x∈(-1, 1)

производная меняет свой знак с + на - при x = -1 - это точка максимума (но по условию мы ее не рассматриваем)

c - на + при x = 1 - это точка минимума.

Найдем значение функции в этих точках:

y(1) = -2/3

Также проверим на концах отрезка [0, 4]

y(0) = 0

y(4) = 52/3

Максимум достигается при x = 4 - y = 52/3

Минимум при x = 1 - y = -2/3