Найдем точки экстремума данной функции и узнаем значения этой функции в точках экстремума, в случае, если они принадлежат отрезку [-2;1], а также на границах этого отрезка.
Для того, чтобы найти точки экстремума данной функции, найдем производную этой функции, а затем найдем те значения х, при которых производная обращается в 0. Это и будут возможные точки экстремума.
Находим производную функции f(x) = x^4 - 2x^2.
f'(x) = 4x^3 - 2*2*x = 4x^3 - 4x.
Найдем значения х, при которых производная равна 0:
4x^3 - 4x = 0;
x^3 - x = 0;
x*(x^2 - 1) = 0;
x*(x - 1)(x + 1) = 0;
Производная обращается в ноль в точках х = -1, х = 0 и х = 1.
Точки х = -1 и х = 0 лежат внутри отрезка [-2;1], а точка х = 1 является правой границей данного отрезка. Вычислим значения функции в точках х = -2, х = -1, х = 0 и х = 1.
f(-2) = (-2)^4 - 2*(-2)^2 = 16 - 8 = 8;
f(-1) = (-1)^4 - 2*(-1)^2 = 1 - 2 = -1;
f(0) = 0^4 - 2*0^2 = 0;
f(1) = 1^4 - 2*1^2 = 1 - 2 = -1.
Таким образом, f(x) = x^4 - 2x^2 на отрезке [-2;1] наименьшее значение принимает в точках х = -1 и х = 1 и это наименьшее значение равно -1, а наибольшее значение данная функция принимает в точке х = -2 и это наибольшее значение равно 8.
Найдем точки экстремума данной функции и узнаем значения этой функции в точках экстремума, в случае, если они принадлежат отрезку [-2;1], а также на границах этого отрезка.
Для того, чтобы найти точки экстремума данной функции, найдем производную этой функции, а затем найдем те значения х, при которых производная обращается в 0. Это и будут возможные точки экстремума.
Находим производную функции f(x) = x^4 - 2x^2.
f'(x) = 4x^3 - 2*2*x = 4x^3 - 4x.
Найдем значения х, при которых производная равна 0:
4x^3 - 4x = 0;
x^3 - x = 0;
x*(x^2 - 1) = 0;
x*(x - 1)(x + 1) = 0;
Производная обращается в ноль в точках х = -1, х = 0 и х = 1.
Точки х = -1 и х = 0 лежат внутри отрезка [-2;1], а точка х = 1 является правой границей данного отрезка. Вычислим значения функции в точках х = -2, х = -1, х = 0 и х = 1.
f(-2) = (-2)^4 - 2*(-2)^2 = 16 - 8 = 8;
f(-1) = (-1)^4 - 2*(-1)^2 = 1 - 2 = -1;
f(0) = 0^4 - 2*0^2 = 0;
f(1) = 1^4 - 2*1^2 = 1 - 2 = -1.
Таким образом, f(x) = x^4 - 2x^2 на отрезке [-2;1] наименьшее значение принимает в точках х = -1 и х = 1 и это наименьшее значение равно -1, а наибольшее значение данная функция принимает в точке х = -2 и это наибольшее значение равно 8.
y=-2(x-1)^2
y=-2(x^2-2x+1)
y=-2x^2+4x-2
f(x)=-2x^2+4x-2
График - парабола, ветви вниз, т.к. коэффициент при x^2 отрицательный,
a=-2.
Точка вершины параболы (1;0): x=-b/2a=-4/2*-2=-4/-4=1;
y=-2*1+4*1-2=-4+4=0
Пересечение с осью У, при х=0: -2*0+4*0-2=-2 - точка пересечения (0;-2).
Точки пересечения с осью Х, при y=0:
-2x^2+4x-2=0 |2
-x^2+2x-1=0
D=2^2-4*(-1)*(-1)=0 Уравнение имеет один корень
х=(-2+0)/-2=1
График пересекается с осью Х в точке (1;0), т.е. вершина параболы лежит на оси 0Х.
График во вложении