Квадратное уравнение и его корни. Неполные квадратные уравнения
Каждое из уравнений
−
x
2
+
6
x
+
1
,
4
=
0
,
8
x
2
−
7
x
=
0
,
x
2
−
4
9
=
0
имеет вид
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
,
где x - переменная, a, b и c - числа.
В первом уравнении a = -1, b = 6 и c = 1,4, во втором a = 8, b = —7 и c = 0, в третьем a = 1, b = 0 и c = 4/9. Такие уравнения называют квадратными уравнениями.
Определение.
Квадратным уравнением называется уравнение вида ax2+bx+c=0, где x - переменная, a, b и c - некоторые числа, причём
a
≠
0
.
Числа a, b и c — коэффициенты квадратного уравнения. Число a называют первым коэффициентом, число b — вторым коэффициентом и число c — свободным членом.
В каждом из уравнений вида ax2+bx+c=0, где
a
≠
0
, наибольшая степень переменной x — квадрат. Отсюда и название: квадратное уравнение.
Заметим, что квадратное уравнение называют ещё уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени.
Квадратное уравнение, в котором коэффициент при x2 равен 1, называют приведённым квадратным уравнением. Например, приведёнными квадратными уравнениями являются уравнения
x
2
−
11
x
+
30
=
0
,
x
2
−
6
x
=
0
,
x
2
−
8
=
0
Если в квадратном уравнении ax2+bx+c=0 хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением. Так, уравнения -2x2+7=0, 3x2-10x=0, -4x2=0 - неполные квадратные уравнения. В первом из них b=0, во втором c=0, в третьем b=0 и c=0.
Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:
1) ax2+c=0, где
c
≠
0
;
2) ax2+bx=0, где
b
≠
0
;
3) ax2=0.
Рассмотрим решение уравнений каждого из этих видов.
Для решения неполного квадратного уравнения вида ax2+c=0 при
c
≠
0
переносят его свободный член в правую часть и делят обе части уравнения на a:
x
2
=
−
c
a
⇒
x
1
,
2
=
±
√
−
c
a
Так как
c
≠
0
, то
−
c
a
≠
0
Если
−
c
a
>
0
, то уравнение имеет два корня.
Если
−
c
a
<
0
, то уравнение не имеет корней (квадратный корень из отрицательного числа извлекать нельзя).
Для решения неполного квадратного уравнения вида ax2+bx=0 при
b
≠
0
раскладывают его левую часть на множители и получают уравнение
x
(
a
x
+
b
)
=
0
⇒
{
x
=
0
a
x
+
b
=
0
⇒
{
x
=
0
x
=
−
b
a
Значит, неполное квадратное уравнение вида ax2+bx=0 при
b
≠
0
всегда имеет два корня.
Неполное квадратное уравнение вида ax2=0 равносильно уравнению x2=0 и поэтому имеет единственный корень 0.
Формула корней квадратного уравнения
Рассмотрим теперь, как решают квадратные уравнения, в которых оба коэффициента при неизвестных и свободный член отличны от нуля.
Решим квадратне уравнение в общем виде и в результате получим формулу корней. Затем эту формулу можно будет применять при решении любого квадратного уравнения.
Решим квадратное уравнение ax2+bx+c=0
Разделив обе его части на a, получим равносильное ему приведённое квадратное уравнение
x
2
+
b
a
x
+
c
a
=
0
Преобразуем это уравнение, выделив квадрат двучлена:
x
2
+
2
x
⋅
b
2
a
+
(
b
2
a
)
2
−
(
b
2
a
)
2
+
c
a
=
0
⇒
x
2
+
2
x
⋅
b
2
a
+
(
b
2
a
)
2
=
(
b
2
a
)
2
−
c
a
⇒
(
x
+
b
2
a
)
2
=
b
2
4
a
2
−
c
a
⇒
(
x
+
b
2
a
)
2
=
b
2
−
4
a
c
4
a
2
⇒
x
+
b
2
a
=
±
√
b
2
−
4
a
c
4
a
2
⇒
x
=
−
b
2
a
+
±
√
b
2
−
4
a
c
2
a
⇒
x
=
−
b
±
√
b
2
−
4
a
c
2
a
Подкоренное выражение называют дискриминантом квадратного уравнения ax2+bx+c=0 («дискриминант» по латыни — различитель). Его обозначают буквой D, т.е.
D
=
b
2
−
4
a
c
Теперь, используя обозначение дискриминанта, перепишем формулу для корней квадратного уравнения:
x
1
,
2
=
−
b
±
√
D
2
a
, где
D
=
b
2
−
4
a
c
Очевидно, что:
1) Если D>0, то квадратное уравнение имеет два корня.
2) Если D=0, то квадратное уравнение имеет один корень
x
=
−
b
2
a
.
3) Если D<0, то квадратное уравнение не имеет корней, т.к. извлекать корень из отрицательного числа нельзя.
Таким образом, в зависимости от значения дискриминанта квадратное уравнение может иметь два корня (при D > 0), один корень (при D = 0) или не иметь корней (при D < 0).
При решении квадратного уравнения по данной формуле целесообразно поступать следующим образом:
1) вычислить дискриминант и сравнить его с нулём;
2) если дискриминант положителен или равен нулю, то воспользоваться формулой корней, если дискриминант отрицателен, то записать, что корней нет.
Теорема Виета
Приведённое квадратное уравнение ax2-7x+10=0 имеет корни 2 и 5. Сумма корней равна 7, а произведение равно 10. Мы видим, что сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Таким свойством обладает любое приведённое квадратное уравнение, имеющее корни.
Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Т.е. теорема Виета утверждает, что корни x1 и x2 приведённого квадратного уравнения x2+px+q=0 обладают свойством:
Квадратное уравнение и его корни. Неполные квадратные уравнения
Каждое из уравнений
−
x
2
+
6
x
+
1
,
4
=
0
,
8
x
2
−
7
x
=
0
,
x
2
−
4
9
=
0
имеет вид
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
,
где x - переменная, a, b и c - числа.
В первом уравнении a = -1, b = 6 и c = 1,4, во втором a = 8, b = —7 и c = 0, в третьем a = 1, b = 0 и c = 4/9. Такие уравнения называют квадратными уравнениями.
Определение.
Квадратным уравнением называется уравнение вида ax2+bx+c=0, где x - переменная, a, b и c - некоторые числа, причём
a
≠
0
.
Числа a, b и c — коэффициенты квадратного уравнения. Число a называют первым коэффициентом, число b — вторым коэффициентом и число c — свободным членом.
В каждом из уравнений вида ax2+bx+c=0, где
a
≠
0
, наибольшая степень переменной x — квадрат. Отсюда и название: квадратное уравнение.
Заметим, что квадратное уравнение называют ещё уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени.
Квадратное уравнение, в котором коэффициент при x2 равен 1, называют приведённым квадратным уравнением. Например, приведёнными квадратными уравнениями являются уравнения
x
2
−
11
x
+
30
=
0
,
x
2
−
6
x
=
0
,
x
2
−
8
=
0
Если в квадратном уравнении ax2+bx+c=0 хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением. Так, уравнения -2x2+7=0, 3x2-10x=0, -4x2=0 - неполные квадратные уравнения. В первом из них b=0, во втором c=0, в третьем b=0 и c=0.
Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:
1) ax2+c=0, где
c
≠
0
;
2) ax2+bx=0, где
b
≠
0
;
3) ax2=0.
Рассмотрим решение уравнений каждого из этих видов.
Для решения неполного квадратного уравнения вида ax2+c=0 при
c
≠
0
переносят его свободный член в правую часть и делят обе части уравнения на a:
x
2
=
−
c
a
⇒
x
1
,
2
=
±
√
−
c
a
Так как
c
≠
0
, то
−
c
a
≠
0
Если
−
c
a
>
0
, то уравнение имеет два корня.
Если
−
c
a
<
0
, то уравнение не имеет корней (квадратный корень из отрицательного числа извлекать нельзя).
Для решения неполного квадратного уравнения вида ax2+bx=0 при
b
≠
0
раскладывают его левую часть на множители и получают уравнение
x
(
a
x
+
b
)
=
0
⇒
{
x
=
0
a
x
+
b
=
0
⇒
{
x
=
0
x
=
−
b
a
Значит, неполное квадратное уравнение вида ax2+bx=0 при
b
≠
0
всегда имеет два корня.
Неполное квадратное уравнение вида ax2=0 равносильно уравнению x2=0 и поэтому имеет единственный корень 0.
Формула корней квадратного уравнения
Рассмотрим теперь, как решают квадратные уравнения, в которых оба коэффициента при неизвестных и свободный член отличны от нуля.
Решим квадратне уравнение в общем виде и в результате получим формулу корней. Затем эту формулу можно будет применять при решении любого квадратного уравнения.
Решим квадратное уравнение ax2+bx+c=0
Разделив обе его части на a, получим равносильное ему приведённое квадратное уравнение
x
2
+
b
a
x
+
c
a
=
0
Преобразуем это уравнение, выделив квадрат двучлена:
x
2
+
2
x
⋅
b
2
a
+
(
b
2
a
)
2
−
(
b
2
a
)
2
+
c
a
=
0
⇒
x
2
+
2
x
⋅
b
2
a
+
(
b
2
a
)
2
=
(
b
2
a
)
2
−
c
a
⇒
(
x
+
b
2
a
)
2
=
b
2
4
a
2
−
c
a
⇒
(
x
+
b
2
a
)
2
=
b
2
−
4
a
c
4
a
2
⇒
x
+
b
2
a
=
±
√
b
2
−
4
a
c
4
a
2
⇒
x
=
−
b
2
a
+
±
√
b
2
−
4
a
c
2
a
⇒
x
=
−
b
±
√
b
2
−
4
a
c
2
a
Подкоренное выражение называют дискриминантом квадратного уравнения ax2+bx+c=0 («дискриминант» по латыни — различитель). Его обозначают буквой D, т.е.
D
=
b
2
−
4
a
c
Теперь, используя обозначение дискриминанта, перепишем формулу для корней квадратного уравнения:
x
1
,
2
=
−
b
±
√
D
2
a
, где
D
=
b
2
−
4
a
c
Очевидно, что:
1) Если D>0, то квадратное уравнение имеет два корня.
2) Если D=0, то квадратное уравнение имеет один корень
x
=
−
b
2
a
.
3) Если D<0, то квадратное уравнение не имеет корней, т.к. извлекать корень из отрицательного числа нельзя.
Таким образом, в зависимости от значения дискриминанта квадратное уравнение может иметь два корня (при D > 0), один корень (при D = 0) или не иметь корней (при D < 0).
При решении квадратного уравнения по данной формуле целесообразно поступать следующим образом:
1) вычислить дискриминант и сравнить его с нулём;
2) если дискриминант положителен или равен нулю, то воспользоваться формулой корней, если дискриминант отрицателен, то записать, что корней нет.
Теорема Виета
Приведённое квадратное уравнение ax2-7x+10=0 имеет корни 2 и 5. Сумма корней равна 7, а произведение равно 10. Мы видим, что сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Таким свойством обладает любое приведённое квадратное уравнение, имеющее корни.
Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Т.е. теорема Виета утверждает, что корни x1 и x2 приведённого квадратного уравнения x2+px+q=0 обладают свойством:
{
x
1
+
x
2
=
−
p
x
1
⋅
x
2
=
q
надеюсь правильно
ответ:
решаем:
а) 2x + 3y = 16
3x - 2y = 11
из 1-го ур-ния y = (16 - 2x) / 3
подставляем во 2-е
3x - 2*(16 - 2x) / 3 = 11
9x - 32 + 4x = 33
13x = 65, x = 5, y = (16 - 2x) / 3 = 2
ответ: x = 5, y = 2
б) 6(x + y) = 5 - (2x + y)
3x - 2y = -3 (или -3 -3 = -6, уточни)
из 2-го у = (3х + 3) / 2
6(x + (3х + 3) / 2) = 5 - (2x + (3х + 3) / 2)
6(5x + 3) / 2 = 5 - (7x + 3) / 2
6(5x + 3) = 10 - (7x + 3)
30x + 18 = 10 - 7x - 3
37x = -11, x = -11/37, y = (3х + 3) / 2 = (-33+111) / (2*37) = 78 / (2*37) = 39/37
ответ: x = -11/37, y = 39/37
в) 2x + 3y = 3
5x - 4y = 19
y = (3 - 2x) / 3
5x - 4(3 - 2x) / 3 = 19
15x - 12 + 8x = 57
23x = 69, x = 3
y = (3 - 2x) / 3 = (3 - 6) / 3 = -1
ответ: x = 3, y = -1
г) 3x + 2y = 6
5x + 6y = -2
y = (6 - 3x) / 2
5x + 6(6 - 3x) / 2 = -2
5x + 3(6 - 3x) = -2
5x + 18 - 9x = -2
4x = 20, x = 5
y = (6 - 3x) / 2 = (6 - 15) / 2 = -9/2
ответ: x = 5, y = -4,5
объяснение: