Сколько решений имеет система уравнений {y²-x²=0, y+3x=4​

Домножим неравенство на 3^(|x|) (это можно делать, так как 3^(|x|)>0):
2^(4x^2+|x|)≤3^|x|. 
Прологарифмируем это неравенство по основанию 2>1; смысл неравенства при этом сохранится:
4x^2+|x|≤|x|log_2 3
(справа я вынес за знак логарифма показатель степени).
4|x|^2+|x|-|x|log_2 3≤0;
|x|(4|x|+1-log_2 3)≤0

1. x=0⇒неравенство принимает вид 0≤0 - верно⇒x=0 входит в ответ.
2. x≠0⇒|x|>0⇒на него можно неравенство сократить:

4|x|≤log_2 3 -1; |x|≤(log_2 3 - 1)/4;
x∈[-(log_2 3 -1)/4; (log_2 3-1)]. 
Поскольку x=0 входит в этот промежуток, это и будет ответ

ответ: [-(log_2 3 -1)/4; (log_2 3-1)]. 

Замечание. При желании ответ можно записать в виде
[-(log_2 (3/2))/4;(log_2 (3/2))/4]

Надо каждое квадратное уравнение разложить на скобки.
x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2
x^2 - 8x - 9 = (x + 1)(x - 9)
Подставляем
(x - 2)^2 * (x + 1)(x - 9) < 0
Ясно, что квадрат не может быть отрицательным, поэтому на него можно разделить, но при этом помнить, что x =/= 2.
Потому что при x = 2 левая часть будет = 0, а этого не должно быть.
(x + 1)(x - 9) < 0
x = (-1; 9), но x =/= 2, поэтому
ответ: x = (-1; 2) U (2; 9)

Если бы изначально было, например,
(x^2 - 4x + 3)(x^2 - 8x - 9) < 0
(x - 1)(x - 3)(x + 1)(x - 9) < 0
Тогда было бы проще - по методу интервалов
x = (-1; 1) U (3; 9)