Для решения данного неравенства с дробями, нам необходимо найти интервалы значений x, при которых данное неравенство выполняется. Для этого мы будем использовать методы анализа функций.
Первым шагом я предлагаю разложить знаменатель x^2+23x+120 на множители. Для этого найдем два числа, сумма которых равна 23 (коэффициент "b" при x) и произведение которых равно 120 (коэффициент "c" при x^2). Числа, которые удовлетворяют этому критерию, равны 8 и 15.
Теперь мы получили разложение знаменателя на множители: x^2+23x+120 = (x+8)(x+15).
Теперь мы можем перейти к решению неравенства. Раскроем дробь:
(x+8) / (x^2+23x+120) < 0.
(x+8) / [(x+8)(x+15)] < 0.
Здесь мы замечаем, что (x+8) в числителе и знаменателе сокращается, и мы можем сократить его:
1 / (x+15) < 0.
Обратите внимание на то, что при сокращении необходимо учитывать знак в числителе и знаменателе. В данном случае, числитель равен 1, что не меняет его знака, а знаменатель (x+15) является множителем, поэтому при разных значениях x он может быть положительным или отрицательным.
Теперь нарисуем таблицу знаков и определим интервалы значений x, при которых неравенство выполняется.
------------------------------------------------------------
(-∞) | -15 | (-8) | (+∞)
------------------------------------------------------------
- | - | + | +
Здесь мы видим, что в интервале (-∞, -15) оба выражения в числителе и знаменателе отрицательны, поэтому дробь положительна.
В интервале (-15, -8) числитель положителен, а знаменатель отрицателен, поэтому дробь отрицательна.
В интервале (-8, +∞) оба выражения в числителе и знаменателе положительны, поэтому дробь положительна.
Таким образом, интервалы, при которых данное неравенство выполняется, - это (-∞, -15) объединено с (-8, +∞).
Таким образом, ответ на задачу: x+8/(x^2+23x+120) < 0 выполняется при:
x принадлежит интервалу (-∞, -15) объединено с (-8, +∞).
