Сократите дробь (каждое выражение – ):
а) (12x^7 y^2)/(18xy^5 );
б) (x^2-xy)/x^2 ;
в) (〖9a〗^2-16)/(3a+4)
Выполните действия (каждое выражение – ):
а) 2x/(x-2)-x/(x+2);
б) y/(x^2-xy)-1/(x-y);
в) 3b-9b/(b+3);
г) x^2/(x^2-y^2 )∙(x-y)/x;
д) a/(3a+3b) ∶ a^2/(a^2-b^2 );
е) (-(2c^3)/y)^5;
ж) x/y^2 ∙4xy.
У выражение ( ):
(y/(y-x)-(y-x)/y)∙(y-x)/x
Сочно!
Для сокращения дроби, нужно найти наибольший общий делитель числителя и знаменателя и поделить оба числа на него. В данном случае, наибольший общий делитель числителя (12x^7 y^2) и знаменателя (18xy^5) вычислим по отдельности для каждого члена.
Для числителя (12x^7 y^2):
Найдем наибольший общий делитель для чисел 12, x^7 и y^2:
НОД(12, x^7, y^2) = 1, так как нет общих делителей.
Получается, числитель остается без изменений: 12x^7 y^2
Для знаменателя (18xy^5):
Найдем наибольший общий делитель для чисел 18, x и y^5:
НОД(18, x, y^5) = 1, так как нет общих делителей.
Получается, знаменатель остается без изменений: 18xy^5
Таким образом, сокращенная дробь будет: (12x^7 y^2)/(18xy^5 )
б) (x^2-xy)/x^2
Для сокращения дроби, нужно найти наибольший общий делитель числителя (x^2-xy) и знаменателя (x^2).
Найдем наибольший общий делитель для чисел x, x и y:
НОД(x, x, y) = x, так как x является общим делителем.
Поделим числитель и знаменатель на x:
(x^2-xy)/x^2 = (x(x-y))/x^2 = (x-y)/x
Таким образом, сокращенная дробь будет: (x-y)/x
в) (〖9a〗^2-16)/(3a+4)
Для сокращения дроби, нужно найти наибольший общий делитель числителя (9a^2-16) и знаменателя (3a+4).
Найдем наибольший общий делитель для чисел 9a^2 и 3a+4:
НОД(9a^2, 3a+4) = 1, так как нет общих делителей.
Получается, числитель остается без изменений: 9a^2-16
Для знаменателя (3a+4):
Здесь наибольший общий делитель равен 1, так как нет общих делителей.
Таким образом, сокращенная дробь будет: (9a^2-16)/(3a+4)
а) 2x/(x-2)-x/(x+2)
Для выполнения вычитания дробей со знаменателями (x-2) и (x+2), нужно найти наименьшее общее кратное этих двух многочленов.
Наименьшее общее кратное (НОК) между (x-2) и (x+2) равняется произведению этих двух многочленов, так как они не имеют общих делителей, кроме 1:
НОК((x-2),(x+2)) = (x-2)(x+2)
Расширим исходные дроби, чтобы знаменатели стали равными:
2x(x+2)/((x-2)(x+2)) - x(x-2)/((x-2)(x+2))
Выполним вычитание числителей:
2x(x+2) - x(x-2) = 2x^2 + 4x - x^2 + 2x = x^2 + 6x
Таким образом, результат будет: (x^2 + 6x)/((x-2)(x+2))
б) y/(x^2-xy)-1/(x-y)
Для выполнения вычитания дробей со знаменателями (x^2-xy) и (x-y), нужно найти наименьшее общее кратное этих двух многочленов.
Наименьшее общее кратное (НОК) между (x^2-xy) и (x-y) равняется произведению этих двух многочленов, так как они не имеют общих делителей, кроме 1:
НОК((x^2-xy),(x-y)) = (x^2-xy)(x-y)
Расширим исходные дроби, чтобы знаменатели стали равными:
y(x-y)/((x^2-xy)(x-y)) - (x^2-xy)/((x^2-xy)(x-y))
Выполним вычитание числителей:
y(x-y) - (x^2-xy) = xy - y^2 - x^2 + xy = -x^2 - y^2
Таким образом, результат будет: (-x^2-y^2)/((x^2-xy)(x-y))
в) 3b-9b/(b+3)
Для выполнения вычитания дроби, нужно найти общий знаменатель для этих двух многочленов.
Общий знаменатель для 3b и 9b/(b+3) равен (b+3), так как второй многочлен имеет знаменатель (b+3).
Расширим исходную дробь 3b, чтобы знаменатель стал равным (b+3):
(3b(b+3) - 9b)/(b+3) = (3b^2 + 9b - 9b)/(b+3) = 3b^2/(b+3)
Таким образом, результат будет: 3b^2/(b+3)
г) x^2/(x^2-y^2)∙(x-y)/x
Для выполнения умножения дробей x^2/(x^2-y^2) и (x-y)/x, нужно найти наименьшее общее кратное знаменателей этих двух дробей.
Наименьшее общее кратное (НОК) между (x^2-y^2) и x равняется произведению этих двух многочленов, так как они не имеют общих делителей, кроме 1:
НОК((x^2-y^2), x) = (x^2-y^2)x
Выполним умножение числителей и знаменателей:
(x^2/(x^2-y^2))∙(x-y)/x = (x^2(x-y))/((x^2-y^2)x) = (x(x-y))/(x+y)(x-y)
Таким образом, результат будет: (x(x-y))/(x+y)(x-y)
д) a/(3a+3b) ∶ a^2/(a^2-b^2 )
Для выполнения деления дроби a/(3a+3b) на a^2/(a^2-b^2), нужно умножить первую дробь на обратную второй дробь.
Обратная дробь для a^2/(a^2-b^2) равна (a^2-b^2)/a^2
Выполним умножение:
(a/(3a+3b)) ∙ ((a^2-b^2)/a^2)
Сократим дроби:
a/((3a+3b) ∙ a^2) ∙ (a^2-b^2)
Выполним действия в числителе и знаменателе:
a(a^2-b^2)/(a^2 ∙ (3a+3b))
Упростим дробь:
a^3 - ab^2/(a^2(3a+3b))
Таким образом, результат будет: (a^3 - ab^2)/(a^2(3a+3b))
е) (-(2c^3)/y)^5
Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести числитель и знаменатель в эту степень.
(-2c^3/y)^5 = (-2c^3)^5/y^5
Возведение в степень:
(-2)^5 ∙ (c^3)^5/y^5 = -32c^15/y^5
Таким образом, результат будет: -32c^15/y^5
ж) x/y^2 ∙4xy
Для выполнения умножения дробей x/y^2 и 4xy, перемножим числители и знаменатели.
(x/y^2) ∙ (4xy) = (x ∙ 4xy)/(y^2)
Выполним умножение:
4x^2y^2/y^2 = 4x^2y
Таким образом, результат будет: 4x^2y
У выражения (y/(y-x)-(y-x)/y)∙(y-x)/x
Чтобы упростить это выражение, выполним действия в каждом шаге по порядку.
1. Для удобства, распишем выражение:
(y/(y-x) - (y-x)/y) ∙ (y-x)/x
2. Упростим любые дроби, находящиеся в скобках.
Раскроем скобки:
(y ∙ y - y ∙ (-x) - (y - x) ∙ (y-x) ∙ (y-x) / (y-x) ∙ y) ∙ (y-x) ∙ (1/x)
Упрощаем:
(y^2 + xy - y^2 + 2xy - 2xy + x^2 ∙ (y-x)) ∙ (y-x) ∙ (1/x)
(x^2 ∙ (y-x)) ∙ (y-x) ∙ (1/x)
(x^2 ∙ (y-x)^2) ∙ (1/x)
3. Упрощаем дополнительно:
(x^2 ∙ (y-x)^2) / x
4. Упрощаем деление:
(x^2(y^2 - 2xy + x^2))/x
(x^2y^2 - 2x^3y + x^4)/x
5. Упрощаем:
xy^2 - 2x^3 + x^4
Таким образом, результат будет: xy^2 - 2x^3 + x^4